《高等数学》课程教学资源（PPT课件）9.1多元函数的基本概念

第九章 多元品款款分法 及其友用 一元函数微分学 推广 多元函数微分学 注意：善于类比，区别异同

推广 第九章 一元函数微分学 多元函数微分学 注意: 善于类比, 区别异同 多元函数微分法 及其应用

第一节 第九章 一、 区域 二、多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

第一节 第九章 一、区域 二、多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元函数的基本概念

一、平面点集n维空间 1.邻域 点集U(P,δ)={PPP<δ，称为点P的δ邻域 例如在平面上， U(R,δ)=《x,yV(x-xo)2+Oy-%)2<δ圆邻域 在空间中， U(,δ)={《x,y,(x-x)2+y-y0)2+(z-z0)2<8} (球邻域) 说明：若不需要强调邻域半径δ，也可写成U(P) 点P的去心邻域记为U(P)={P0<PP<δ} HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

0 δ  PP0  一、 平面点集 n 维空间 1. 邻域 点集 称为点 P0 的邻域. 例如,在平面上, U( P0 ,δ ) = (x, y)  (圆邻域) 在空间中, U( P0 , ) = (x, y,z)  (球邻域) 说明：若不需要强调邻域半径 ,也可写成 ( ). U P0 点 P0 的去心邻域记为 δ PP0  机动 目录 上页 下页 返回 结束

在讨论实际问题中也常使用方邻域，因为方邻域与圆 邻域可以互相包含 平面上的方邻域为 U(R,δ)={(x,y)x-xo<δ，y-yo<δ} HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

在讨论实际问题中也常使用方邻域, 平面上的方邻域为 U(P0 ,δ ) = (x, y)  。 P0 因为方邻域与圆 邻域可以互相包含. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

点与点集之间的关系 ()内点、外点、边界点 设有点集E及一点P 若存在点P的某邻域U(P)E, 则称P为E的内点； 若存在点P的某邻域U(P)nE=O 则称P为E的外点 ·若对点P的任一邻域U(P)既含E中的内点也含E 的外点，则称P为E的边界点 显然，E的内点必属于E,E的外点必不属于E,E的 边界点可能属于E,也可能不属于E 》HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

点与点集之间的关系 (1) 内点、外点、边界点 设有点集 E 及一点 P : • 若存在点 P 的某邻域 U(P) E , • 若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E =  , • 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E E 则称 P 为 E 的内点； 则称 P 为 E 的外点 ; 则称 P 为 E 的边界点 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的外点 , 显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的 边界点可能属于 E, 也可能不属于 E

(2)聚点 若对任意给定的δ，点P的去心 邻域U(P,δ)内总有E中的点，则 称P是E的聚点 聚点可以属于E,也可以不属于E(因为聚点可以为 E的边界点) HIGH EDUCATION PRESS DeOC①8 机动目录上页下页返回结束

(2) 聚点 若对任意给定的 , 点P 的去心 机动 目录 上页 下页 返回 结束 E 邻域 内总有E 中的点 , 则 称 P 是 E 的聚点. 聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为 E 的边界点 )

(3)开区域及闭区域 ·若点集E的点都是内点，则称E为开集； ·E的边界点的全体称为E的边界，记作∂E, ·若点集EE,则称E为闭集； ·若集D中任意两点都可用一完全属于D的折线相连 则称D是连通的； ·连通的开集称为开区域，简称区域， ·开区域连同它的边界一起称为闭区域！ HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

D (3) 开区域及闭区域 • 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集； • 若点集 E E , 则称 E 为闭集； • 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 , • 开区域连同它的边界一起称为闭区域. 则称 D 是连通的 ; • 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 。 。 • E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;

例如，在平面上 {(xy)x+y>0} 开区域 {(x,y1<x2+y2<4》 {(x,y)x+y20} 闭区域 +{(x,)1≤x2+y2≤4} 2x HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例如，在平面上 (x, y) x + y  0  ( , ) 1 4  2 2 x y  x + y  (x, y) x + y  0 ( , ) 1 4  2 2 x y  x + y  开区域 闭区域     机动 目录 上页 下页 返回 结束x y o 1 2 x y o x y o x y o 1 2

整个平面是最大的开域， 也是最大的闭域； 水 点集{(x,y)x>1}是开集 但非区域 ·对区域D,若存在正数K,使一切点PD与某定点 A的距离APkK,则称D为有界域，否则称为无 界域. HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

 整个平面  点集 (x, y) x 1 是开集， 是最大的开域 , 也是最大的闭域； 但非区域 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 −1 o 1 x y • 对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与某定点 A 的距离 AP K , 则称 D 为有界域 , 界域 . 否则称为无

二、多元函数的概念 例12： ·圆柱体的体积 V=πr2h，{(,)r>0,h>0} 。定量理想气体的压强 RT p= (R为常数)，{(W,T)V>0,T>I} V ·三角形面积的海伦公式(p= a+b+c 2 S=p(p-a)(p-b)(p-c) {(a,b,c)a>0,b>0,c>0,a+b>c} HIGH EDUCATION PRESS 0◆0C①8 机动目录上页下页返回结束

二、多元函数的概念 例1 2: • 圆柱体的体积 • 定量理想气体的压强 • 三角形面积的海伦公式 c b a 机动 目录 上页 下页 返回 结束h r