《高等数学》课程教学资源（PPT课件）11.4对面积的曲面积分

第四节 第十一章 对面积的曲面积分 一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法 HIGH EDUCATION PRESS 返回 结明

第四节 一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对面积的曲面积分 第十一章

一、对面积的曲面积分的概念与性质 引例：设曲面形构件具有连续面密度4(x,y,),求质 量M 类似求平面薄板质量的思想，采用 “大化小，常代变，近似和，求极限” 的方法，可得 材=lim (57,5AS 月0 其中，入表示n小块曲面的直径的 最大值（曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者） HIGH EDUCATION PRESS 机动

o x y z 一、对面积的曲面积分的概念与性质 引例: 设曲面形构件具有连续面密度  (x, y,z), 类似求平面薄板质量的思想, 采用 i i i i  ( , , )S 可得  n 0 i 1 lim  M  ( , , ) i i  i 求质 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 的方法,  量 M. 其中,  表示 n 小块曲面的直径的 最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者). 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定义：设∑为光滑曲面，f(x,y)是定义在∑上的一 个有界函数，若对Σ做任意分割和局部区域任意取点， 乘积和式极限” lm∑f(5,n,5)AS 记作 (x.y,3)d S 0 都存在，则称此极限为函数f(x,y)在曲面∑上对面积 的曲面积分或第一类曲面积分.其中f(x,yz)叫做被积 函数，∑叫做积分曲面 据此定义，曲面形构件的质量为M=4(x,y)dS 曲面面积为 HIGH EDUCATION PRESS 返回

M (x, y,z)d S    定义: 设  为光滑曲面, “乘积和式极限” i i i i  f ( , , )S  n 0 i 1 lim  都存在, 的曲面积分   f (x, y,z)d S 其中 f (x, y, z) 叫做被积 据此定义, 曲面形构件的质量为 曲面面积为  S  d S f (x, y, z) 是定义在  上的一 个有界函数, 记作 或第一类曲面积分. 若对  做任意分割和局部区域任意取点, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面  上对面积 函数,  叫做积分曲面. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似. ·积分的存在性.若xy,) 在光滑曲面∑上连续 则对面积的曲面积分存在 ·对积分域的可加性.若Σ是分片光滑的，例如分成两 片光滑曲面Σ，∑2， 则有 fx,ds=八xds+八5 )ds ·线性性质.设k,k为常数，则 【fx,头)士gs f,)ds士k g(.,a)d5 HIGH EDUCATION PRESS 机动

则对面积的曲面积分存在. • 对积分域的可加性. , , 1 2 则有   f (x, y,z)d S 1 f (x, y,z)d S   2 f (x, y,z)dS    k f (x, y,z)  k g(x, y,z) d S 1 2 • 线性性质. 设k1 , k2为常数,则      k f (x, y,z)dS  k g(x, y,z)dS 1 2 若 f (x, y,z)在光滑曲面  上连续, 对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似. • 积分的存在性. 若  是分片光滑的, 例如分成两 片光滑曲面 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、对面积的曲面积分的计算法 定理：设有光滑曲面 2=(x,)(X)eD f(x,yz)在∑上连续，则曲面积分 八x)ds存在，且有 AG) =jn (x.y)1(x.y)(x.y)dxdy 证明：由定义知 f5.)△5 0 HIGH EDUCATION PRESS 返回结

o x y z 定理: 设有光滑曲面 Dxy  : z  z(x, y), (x, y) f (x, y, z) 在  上连续,  存在, 且有  f (x, y,z)dS   Dx y f (x, y, )  f (x, y,z)dS z(x, y) z x y z x y x y x y 1 ( , ) ( , )d d 2 2   二、对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分 证明: 由定义知   f (x, y,z)dS i i i Si  f ( , , )  n 0 i 1 lim  Dxy ( , , ) i i  i i x y ( )  机动 目录 上页 下页 返回 结束

而s=1+(ex+,e)ddy j八fx,)s =1imΣ(5,057】 2→0 =lim之 (②光滑) 2→0 f(5、7,(5,n,) 1+(1)+三，（写）(A可， fx,(x,y)1+气x)+s,3x.dd HIGH EDUCATION PRESS

Si  z x y z x y x y i x y x y 1 ( , ) ( , ) d d ( ) 2 2      x i i y i i i x y 1 z ( , ) z ( , ) ( ) 2 2         0 lim     n i 1 x i i y i i i x y 1 z ( , ) z ( , ) ( ) 2 2        0 lim     n i 1 x i i y i i i x y 1 z ( , ) z ( , ) ( ) 2 2        f x y z x y z x y x y x y Dx y ( , , ) 1 ( , ) ( , )d d 2 2     z(x, y) ( , , ( , )) i i i i f   z   ( , , ( , )) i i i i f   z     f (x, y,z)dS 而 (光滑) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.计算曲面积分 d s 其中∑是球面 =a 被平面三=h0<h<a 截出的顶部 解：∑s=后-x2-y2xy)eD = adxdy HIGH EDUCATION PRESS 目录 返回 结项

Dxy 例1. 计算曲面积分 , d  z S 其中是球面 2 2 2 x  y  z 被平面 z  h (0  h  a) 截出的顶部. 解: Dx y  : z  a  x  y , (x, y) 2 2 2 2 2 2 2 D : x y a h xy    2 2 1 x y  z  z 2 2 2 a x y a      z d S     2 0 a d 2 2 1 2 2 2 ln( ) 2 0 a h  a a r           h a  2 a ln     Dx y a x y a x y 2 2 2 d d    2 2 0 2 2 a h d a r r r 2  a o x z y  h a 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.计算 xydS,其中∑是由平面x+v+s=1与 坐标面所围成的四面体的表面 解：设 分别表示Σ在平面 x=0y=0,三=0，x+y+g=1上的部分，则 原式 ++,+ xy=ds 4 =1-x-4(x,)eD 0≤y≤1-x 0≤x≤ 3xd1-x-yd=③ 120 HIGH EDUCATION PRESS 机动 结頭

例2. 计算 d ,  xyz S 其中 是由平面 坐标面所围成的四面体的表面. o z y x 1 1 1 解: 设 上的部分, 则 1 2 3 4  ,  ,  ,       4 xyz d S : 1 , 4  z   x  y          0 1 0 1 ( , ) : x y x x y Dxy     x y x y y 1 0 (1 ) d 120 3  x  y  z 1 与 x  0, y  0,z  0,   1 0 3 x dx x  y  z 1            1 2 3 4  xyz dS  原式  = 分别表示 在平面 机动 目录 上页 下页 返回 结束

内容小结 1定义： f(x,y=)ds lim /(5,n5)AS 2.计算：设2：=(XJy》,(x,)ED 则 J八fa3ds f(x.y 1+号+号 dxdy (曲面的其他两种情况类似) ·注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式 简化计算的技巧 HIGH EDUCATION PRESS 回 结

内容小结 1. 定义:  f (x, y,z)dS i i i i  f ( , , )S  n i 1 0 lim    2. 计算: 设 : ( , ),( , ) , Dxy  z  z x y x y  则  f (x, y,z)dS   Dx y f (x, y, z(x, y)) 2 2 1 x y  z  z d x d y (曲面的其他两种情况类似) • 注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式 简化计算的技巧. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

解答提示： P222题1.=八y2+2)μ(6xy)dS P222题3.设∑：=0，(y)eD 则 xy,a)ds=可nfx,)dd HIGH EDUCATION PRESS

解答提示: P222 题1.  I  y  z x y z S x ( ) ( , , )d 2 2  P222 题3. : 0 , ( , ) , Dxy  z  x y      Dx y f (x, y,z)d S f (x , y , )d xdy 设 则 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束