《高等数学》课程教学资源（PPT课件）10.4重积分的应用

第四有 第十章 重积分的应用 一、 立体体积 二、 曲面的面积 三、物体的质心 四、物体的转动惯量 五、物体的引力 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

第四节 一、立体体积 二、曲面的面积 三、物体的质心 四、物体的转动惯量 五、物体的引力 机动 目录 上页 下页 返回 结束 重积分的应用 第十章

1.能用重积分解决的实际问题的特点 所求量是 分布在有界闭域上的整体量 对区域具有可加性 2.用重积分解决问题的方法 ·用微元分析法（元素法） ·从定积分定义出发建立积分式 3.解题要点 画出积分域、选择坐标系、 确定积分序、 定出积分限、计算要简便 HIGH EDUCATION PRESS OC8 机动目录上页下页返回结束

1. 能用重积分解决的实际问题的特点 所求量是 对区域具有可加性 • 从定积分定义出发 建立积分式 • 用微元分析法 (元素法) 分布在有界闭域上的整体量 3. 解题要点 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、 定出积分限、计算要简便 2. 用重积分解决问题的方法 机动 目录 上页 下页 返回 结束

一、 立体体积 曲顶柱体的顶为连续曲面z=f(x,y),(x,y)∈D 则其体积为 V=J∬nfx,ydd ·占有空间有界域①的立体的体积为 =dxdyd- HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

一、立体体积 • 曲顶柱体的顶为连续曲面 则其体积为  = D V f (x, y)dxdy • 占有空间有界域  的立体的体积为  V = dxdydz 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、曲面的面积 设光滑曲面S:z=f(x,y),(xy)∈D 则面积A可看成曲面上各点M(x,y,) 处小切平面的面积dA无限积累而成， 设它在D上的投影为do,则 doy do=cosy.d4 cosy= V1+2(x,y)+f)(x,y) d A=1+f2(x,y)+fy (x,y)do (称为面积元素) HIGH EDUCATION PRESS 0C08 机动目录上页下页返回结束

 M d A z d n 二、曲面的面积 x y z S o 设光滑曲面 则面积 A 可看成曲面上各点 M (x, y,z) 处小切平面的面积 d A 无限积累而成. 设它在 D 上的投影为 d , d = cos d A 1 ( , ) ( , ) 1 cos 2 2 f x y f x y + x + y  = d 1 ( , ) ( , ) d 2 2 A f x y f x y = + x + y (称为面积元素) 则   M n  d 机动 目录 上页 下页 返回 结束

故有曲面面积公式 A=()do 即 1++ dxdy 若光滑曲面方程为x=g(y,),(,a)eD:,则有 1=n1+(2+8Pavd HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

故有曲面面积公式 1 ( , ) ( , ) d 2 2  = + + D x y A f x y f x y x y y z x z A D 1 ( ) ( ) d d 2 2    +   = + 若光滑曲面方程为 ( , ) , ( , ) , Dy z x = g y z y z  则有 Dy z 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束

若光滑曲面方程为y=h(z,x),(z,x)eDx,则有 4n1会P+层rad: 若光滑曲面方程为隐式F(x,y,z)=0,且F2≠0，则 x F’yF (x,y)∈Dx F dxd v HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

z x x y z y A 1 ( ) ( ) d d 2 2   +   = +  若光滑曲面方程为 ( , ) , ( , ) , Dz x y = h z x z x  若光滑曲面方程为隐式 则 则有 x y z y z x x y D F F y z F F x z = −    = −   , , ( , )   A = Dx y Dz x z x y z F F F F 2 2 2 + + 且 dxd y 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.计算半径为a的球的表面积 解：取上半球面 球面方程为z= Va2-x2-y2(x2+y2≤a) 球面面积元素为 dA=- =4πa2 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例1. 计算半径为 a 的球的表面积. 解: 球面方程为 ( ) 2 2 2 2 z a x y x y a 2 = − − +  球面面积元素为 x y a x y a d A d d 2 2 2 − − =   −  = a a A a 0 2 2 2 0 d 1 d      2 = 4 a 取上半球面. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例.计算双曲抛物面z=xy被柱面x2+y2=R所截 出的面积A. 解：曲面在xoy面上投影为D:x2+y2≤R2,则 A=∬nN1+c2+,2ddy =j∬nV1+x2+2dxdy -fdoprd =1+R23-1] HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例. 计算双曲抛物面 被柱面 所截 解: 曲面在 xoy 面上投影为 : , 2 2 2 D x + y  R 则 A z z x y D x y 1 d d 2 2  = + + x y x y D 1 d d 2 2  = + + r r r R d 1 d 0 2 2 0   = +   [(1 ) 1)] 3 2 2 3 2 =  + R − 出的面积 A . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

三、物体的质心 不讲 设空间有个质点，分别位于(xk,yk,),其质量分别 为m,(k=1,2,n),由力学知，该质点系的质心坐标 xm好 m m 为 x= k=1 k=1 k=1 n mk ∑m k= 设物体占有空间域2，有连续密度函数p(x,y,z),则 采用"大化小，常代变，近似和，取极限”可导出其质心 公式，即 HIGH EDUCATION PRESS 机动目 下页返回结束

三、物体的质心 不讲 设空间有n个质点, ( , , ) , k k k x y z 其质量分别 m ( k 1, 2, , n ) , k =  由力学知, 该质点系的质心坐标 , 1 1   = = = n k k n k k k m x m x , 1 1   = = = n k k n k k k m y m y   = = = n k k n k k k m z m z 1 1 设物体占有空间域  , 有连续密度函数 则 公式 , 分别位于 为 为 即: 采用 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 可导出其质心 机动 目录 上页 下页 返回 结束

将2分成n小块，在第k块上任取一点(5k,k,5k), 将第k块看作质量集中于点(5k,5)的质点，此质点 系的质心坐标就近似该物体的质心坐标例如， ∑5p(5,n,5)△g X k= ∑p5k,na,5)Ar k= 令各小区域的最大直径入→>0，即得 川op(,ya)axdd X三 dxdyd= HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

将  分成 n 小块, 将第 k 块看作质量集中于点 例如,   = =    n k k k k k n k k k k k k v v x 1 1 ( , , ) ( , , )          令各小区域的最大直径  → 0,     = x y z x y z x x y z x y z x ( , , )d d d ( , , )d d d   系的质心坐标就近似该物体的质心坐标. 的质点, 即得 此质点 在第 k 块上任取一点 机动 目录 上页 下页 返回 结束