《高等数学》课程教学资源（PPT课件）12.4函数展开成幂级数

第四节 第十二章 蓝数展开成暴级教 两类问题：在收敛域内 00 幂级数∑anx” 求和 和函数S(x) n=0 展开 本节内容： 泰勒(Taylor)级数 二、函数展开成幂级数 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

第四节 两类问题: 在收敛域内 和函数 求 和 展 开 本节内容: 一、泰勒 ( Taylor ) 级数 二、函数展开成幂级数 函数展开成幂级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十二章

一、泰勒(Taylor)级数 若函数f(x)在xo的某邻域内具有n+1阶导数，则在 该令邻域内有： f)=f)+fe-)+To(x-月 2 ++(x-x”+R,() n! 此式称为f(x)的n阶泰勒公式，其中 R (x)= a2x-(5在x与之间 (n+1)川 称为拉格朗日余项 等HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

一、泰勒 ( Taylor ) 级数 f (x) = f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) + 2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x −  n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) ++ − R (x) + n 其中 Rn (x) = (  在 x 与 x0 之间) 称为拉格朗日余项 . 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) + + − + n n x x n f  若函数 的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在 此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 , 该邻域内有 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束

若函数f(x)在x的某邻域内具有任意阶导数，则称 f6)+X-)+"0(-w月 2 ++（x-y+ 为f(x)的泰勒级数 当x,=0时，泰勒级数又称为麦克劳林级数 待解决的问题： 1)对此级数，它的收敛域是什么？ 2)在收敛域上，和函数是否为f(x)? HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) + 2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x −  ++ − n + n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) 为f (x) 的泰勒级数 . 则称 当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 . 1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？ 2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ? 待解决的问题 : 若函数 的某邻域内具有任意阶导数, 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理1.i 设函数fx)在点x的某一邻域U(x,)内具有 各阶导数，则fx)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是f(x)的泰勒公式中的余项满足：1imRn(x)=0., n->o∞ 证明：/)-∑/x-5”,xEU0) n! 令因-2-x f(x)=n+1(x)+R,(x) limR,(x)=lim[f(x)-Sn+1(x)】]=0,x∈U(xo) 1n-→00 n→∞ HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

定理1 . 各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足: lim ( ) = 0. → R x n n 证明: ( ) , ! ( ) ( ) 0 0 0 ( ) n n n x x n f x f x =  −  = 令 ( ) ( ) ( ) 1 f x S x R x = n+ + n = → lim R (x) n n lim ( ) ( ) 1 f x S x n n + → − = 0 , ( ) 0 x x k n k k n x x k f x S x ( ) ! ( ) ( ) 0 0 0 ( ) 1 =  − = + ( ) 0 x x 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 内具有 机动 目录 上页 下页 返回 结束

说明.若f(x)能展成x的幂级数，则这种展开式是 唯一的，且与它的麦克劳林级数相同 证：设f(x)所展成的幂级数为 f(x)=a0+4x+a2x2++anx”+.,x∈(-R,R) 则 a6=f(0) f'(x)=a1+2a2x++nanx-1+.; a1=f'(0〉 f”(x)=21a2+.+n(n-10anx"-2+.;a2=分/"(0) fm(x)=nant.g an=(0 显然结论成立 HIGH EDUCATION PRESS 下页返回结束

说明. 若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是 唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同. 证: 设 f (x) 所展成的幂级数为 则 ( ) 2 ; 1 f  x = a1 + a2 x ++ nan x n− + (0) 1 a = f  ( ) 2! ( 1) ; 2 f  x = a2 ++ n n − an x n− + (0) 2! 1 2 a = f  ( ) ! ; f (n) x = n an + (0) ( ) ! 1 n n n a = f 显然结论成立 . (0) 0 a = f 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、 函数展开成幂级数 直接展开法一 利用泰勒公式 展开方法 间接展开法 一利用已知其级数展开式 的函数展开 1.直接展开法 由泰勒级数理论可知，函数f(x)展开成幂级数的步 骤如下： 第一步求函数及其各阶导数在x=0处的值； 第二步写出麦克劳林级数，并求出其收敛半径R; 第三步判别在收敛区间(-R,R)内lim R(x)是否为 n→o∞ 0. HIGH EDUCATION PRESS 机动目 上页下页返回结束

二、函数展开成幂级数 1. 直接展开法 由泰勒级数理论可知, 函数 f (x)展开成幂级数的步 第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ; 第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ; 第三步 判别在收敛区间(－R, R) 内 lim R (x) n n→ 是否为 骤如下 : 展开方法 直接展开法 — 利用泰勒公式 间接展开法 — 利用已知其级数展开式 0. 的函数展开 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.将函数f(x)=ex展开成x的幂级数 解：fm(x)=e,fm)(0)=1(n=0,1,故得级数 1+x 其收敛半径为 R=lim =+00 n> 、nl (n+1) 对任何有限数x,其余项满足 n+1 oo (n+1) (5在0与x之间) 1.2 故ex=1+x+x +·，,X∈(-00，十00） 21 31 n HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例1. 将函数 展开成 x 的幂级数. 解: ( ) , (n) x  f x = e (0) 1 ( 0,1, ), f (n) = n =  1 其收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项满足  e (n +1)! n+1 x x  e 故 , ! 1 3! 1 2! 1 1 x = + + 2 + 3 ++ x n + n e x x x → = n R lim ! 1 n ( 1)! 1 n + n → ( 在0与x 之间) + x 2 2! 1 + x 3 3! 1 + x ++ x n + n! 1 故得级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.将f(x)=sinx展开成x的幂级数 解：fm(x)=sin(x+n:) o-ik.g2 n=2k (k=0,1,2,.） 得级数x-x+x3-+(-1x21+. 其收敛半径为R=+∞，对任何有限数x,其余项满足 sin(5+(n+l)） n+1 Ri(x)= xn+l n> (n+1)月 (n+1) snx=x-x2+x3-+(-12 2n+1 x∈(-0，+00 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例2. 将 展开成 x 的幂级数. 解: ( ) = ( ) f x n      (0) = (n) f 得级数: x 其收敛半径为 R = +, 对任何有限数 x , 其余项满足 sin( ( 1) ) 2   + n + (n +1)! n+1 x n = 2k +1 (k = 0,1, 2, ) 3 3! 1 − x + −+ 5 5! 1 x (−1) n (2n 1 +1)! x 2n+1 +  sin x n → n = 2k ( 1) , k − 0 , = x − 3 1 ! x 3 + 5 1 ! x 5 −+ (−1) n (2n 1 +1)! x 2n+1 + 机动 目录 上页 下页 返回 结束

sin=- 3/ (2n+1)月 x∈(-0，+0) 类似可推出： cosx=1- +r-+ye0 2n 十. x∈(-0，+00） HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

= − + −+ − n x n + n x x x 2 4 2 (2 )! 1 ( 1) 4! 1 2! 1 cos 1 类似可推出:  + + = − + − + − 3 5 2 +1 (2 1)! 1 ( 1) 5! 1 3! 1 sin n n x n x x x x 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例6.将函数f(x)=1+x)m展开成x的幂级数，其中m 为任意常数· 解：易求出f(0)=1,f'(0)=m,f"(0)=m(m-1), fm(0)=m(m-10(m-2)-(m-n+1),. 于是得级数 1+m+m》+ 21 mm-)(m-n+）x+. n! 由于 R=limn=lim 1 n->oo an+l n-→oom-n 因此对任意常数m,级数在开区间(-1,1)内收敛. HIGH EDUCATION PRESS Oe0C08 机动目录上页下页返回结束

例6. 将函数 展开成 x 的幂级数, 其中m 为任意常数 . 解: 易求出 f (0) =1, f (0) = m, f (0) = m(m −1) , f (n) (0) = m(m −1)(m − 2)(m − n +1) ,  于是得 级数 1+ mx + + − 2 2! ( 1) x m m 由于 1 lim → + = n n n a a R m n n n − + = → 1 lim =1   + − − + + n x n m m m n ! ( 1) ( 1) 因此对任意常数 m, 级数在开区间 (－1, 1) 内收敛. 机动 目录 上页 下页 返回 结束