《线性代数》课程作业解答（C）第二章 矩阵与向量

第二章矩阵与向量作业题 一，填空题： 1.设n维向量a,a2,a线性无关，则向量组4-42，a2-a,4,-a的秩 r=_ 2.向量组a,B,y线性相关的充分必要条件为 3.设4，%，线性无关，而a,a2,a,线性相关，则向量组42a,3,的最大无关组 为■ 4.己知c41=(1,3,2,4),42=(2,6,k,8)线性相关，则k= 5.己知向量组a,B,y线性相关，而向量组B,y,6线性无关，则向量组a,B,y的 秩为 二，判断题： 1.如果向量组a,B,y只有一个最大无关组，则a,B,y一定线性无关。() 2.设a,B线性相关，y≠0，则a+y与B+y也线性相关。（） 3.如果a-B+2y≠0，则a,B,y线性无关。(） 4.向量组的秩就是它的最大线性无关组的个数.（) 5.如果向量组a=(ab),a,=(c,d线性无关，那么向量R=(a,c以B=(6,d 一定线性无关。（） 三.设向量a=1,1,0),B=(01,l),y=(3,4,0),求a-B及3a+2B-y。 四.判断下列向量组的线性相关性： 1.a1=(2,4,7)）,42=(0,2,5),a=(11,1) 2.B=(x,y,2),B=(x,2,y),B3=(y,2,x),B,=(2,x,y) 3.1=(1,2,3),Y2=(0,2,3),y3=(1,3,2) 六.求下列向量组的秩及一个最大无关组，并把剩余向量用最大无关组线性表示：

第二章 矩阵与向量作业题 一.填空题: 1. 设 n 维向量 1 2 3  , , 线性无 关 ， 则 向 量 组 1 2 2 3 3 1  − , − , − 的 秩 r = 。 2.向量组 ,  , 线性相关的充分必要条件为 。 3.设 1 2  , 线性无关，而 1 2 3  , , 线性相关，则向量组 1 2 3 3  ,2 ,  的最大无关组 为 。 4.已知 1 2  =  = (1,3,2,4), (2,6, ,8) k 线性相关,则 k = 。 5.已知向量组 , , 线性相关，而向量组  , ,  线性无关，则向量组 ,  , 的 秩为 。 二.判断题: 1.如果向量组 , , 只有一个最大无关组，则 , , 一定线性无关。 ( ) 2.设 , 线性相关，   0 ，则  + 与  +  也线性相关。 ( ) 3.如果  −  + 2  0,则 , , 线性无关。 ( ) 4.向量组的秩就是它的最大线性无关组的个数. ( ) 5.如果向量组 ( , ), ( , ) 1 = a b 2 = c d 线性无关，那么向量 ( , ), ( , ) 1 = a c 2 = b d 一定线性无关。 ( ) 三.设向量  = (1,1,0),  = (0,1,1), = (3,4,0)， 求  −  及 3 + 2 −  。 四.判断下列向量组的线性相关性: 1. (2,4,7) 1 = , (0,2,5)  2 = , (1,1,1)  3 = 2. ( , , ) 1  = x y z , ( , , ) 2  = x z y , ( , , ) 3  = y z x , ( , , ) 4  = z x y 3. (1,2,3)  1 = , (0,2,3)  2 = , (1,3,2)  3 = 五. c 取何值时，向量组 1 1 1 1 1 1 ( , , ),( , , ),( , , ) 2 2 2 2 2 2 ccc − − − − − − 线性相关? 六.求下列向量组的秩及一个最大无关组，并把剩余向量用最大无关组线性表示：

1.a=(12,-1,4),42=(9,100,10,4),4=(-2-4,2,-8) 2.B=1,2,1,3),B2=(4,-1,-5,6,B=(1,-3-4,-7) B=41+a2+43 七.已知{B2=a1+a3+2a,证明：a,a2,a3与BB,B等价. B3=a1+2a2+3a3 八·已知向量组a=1,2,-3),a2=(3,0,),a=(9,6-7)与向量组 月=(0,1，-1)，B2=(a,2,1),B=(b1,0)具有相同的秩，且B,可由a,a,心，线性 表示，求a,b的值， 九.已知a4,a2,a是R的一组基，证明：a+a2,a2+a,a+a线性无关， [31021 十.求矩阵1-12-1的秩 13-44J 「1-12 十一，对于入的不同取值，矩阵A=2-1入5的秩为多少？ 110-61

1. 1  = − (1,2, 1,4)， 2  = (9,100,10,4)， 3  = − − − ( 2, 4,2, 8) 2. 1 2 3    = = − − − = − − − (1,2,1,3), (4, 1, 5, 6), (1, 3, 4, 7) 七.已知      = + + = + + = + + 3 1 2 3 2 1 2 3 1 1 2 3 2 3 2             ,证明： 1 2 3  ，  ， 与 1 2 3  ，  ， 等价. 八 . 已知向量组 (1,2 3), (3,0,1), (9,6, 7) 1 = ，−  2 = 3 = − 与向量组 (0,1, 1), ( ,2,1), ( ,1,0) 1 = −  2 = a  3 = b 具有相同的秩，且  3 可由 1 2 3  ，  ， 线性 表示，求 a b, 的值. 九.已知 1 2 3  ，  ， 是 3 R 的一组基,证明： 1 2 2 3 3 1  + , + , + 线性无关. 十.求矩阵           − − − 1 3 4 4 1 1 2 1 3 1 0 2 的秩. 十一.对于  的不同取值，矩阵 1 1 2 2 1 5 1 10 6 1 A    −   = −        − 的秩为多少？

第二章矩阵与向量作业题参考答案 、1.2:2.秩小于3：3.a,a:4.k:5.2。 二、1.错：2.错：3.错：4.错：5.正确。 三、a-B=1,0,-1),3a+2B-y=(0,12) 四、1.线性相关2.线性相关3.线性无关 五、6=成e=-片 六、1.若取a,4,为一最大无关组，则a=-2a 2.若取风月为一最大无关组，则月=-)月+了风 「1117 [a 七、设A=112, 则B2=Aa2 。 由A~E可知，A可逆，故必有 1123 =A阝2 所以两向量组等价。 3」 八、先求得R(aa:a)=2以及a可由a,a,线性表示。 其次，再由R(B,B,B)=R(a,2,a)=2求得a=3b。 最后，由B可由a,a,a,线性表示，必可由a,a线性表示求得b=5, 从而a=15。 十、2 十一、入=3时，R(A)=2;入≠3时，R(4)=3

第二章 矩阵与向量作业题 参考答案 一、1．2 ； 2．秩小于 3 ； 3． 1 2  ，  ； 4．k ； 5．2 。 二、1．错； 2．错； 3．错； 4．错； 5．正确。 三、  −  =（1,0，−1)，3 + 2 −  = (0,1,2) 四、1．线性相关 2．线性相关 3．线性无关 五、 c =1 或 1 2 c = − 六、1．若取 1 2  ，  为一最大无关组，则 3 = −21 2．若取 1 2  ，  为一最大无关组，则 3 1 2 9 5 9 11  = −  +  七、设 1 1 1 1 1 2 1 2 3 A     =       ，则           =           3 2 1 3 2 1       A 。由 A ～ E 可知， A 可逆，故必有           =           − 3 2 1 1 3 2 1       A ，所以两向量组等价。 八、先求得 R(1，  2，3 ) = 2 以及  3 可由 1 2  ，  线性表示。 其次，再由 R(1，  2， 3 ) = R(1，  2，3 ) = 2 求得 a b = 3 。 最后，由  3 可由 1 2 3  ，  ， 线性表示，必可由 1 2  ，  线性表示求得 b = 5， 从而 a =15。 十、2 十一、 = 3 时， R A( ) 2 = ；  3 时， R A( ) 3 =