《高等数学》课程教学资源（PPT课件）11.2对坐标的曲线积分

第二节 第十章 对坐标的曲线积分 对坐标的曲线积分的概念 与性质 二、 对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系 HIGH EDUCATION PRESS 机动目 上页下页返回结束

第二节 一、对坐标的曲线积分的概念 与性质 二、 对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对坐标的曲线积分 第十章

一、对坐标的曲线积分的概念与性质 1.引例：变力沿曲线所作的功 设一质点受如下变力作用 F(x,y)=(P(x,y),e(x,y)) 在xoy平面内从点A沿光滑曲线弧L移动到点B,求移 动过程中变力所作的功W 解决办法 变力沿直线所作的功 “大化小” W=FAB cos0 “常代变” =F.AB 近似和” “取极限” HIGH EDUCATION PRESS 00C08 机动目录上页下页返回结束

一、 对坐标的曲线积分的概念与性质 1. 引例: 变力沿曲线所作的功. 设一质点受如下变力作用 在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B, A B L x y 求移 “大化小” “常代变” “近似和” “取极限” 解决办法: 动过程中变力所作的功W. W = F AB cos 变力沿直线所作的功 = F  AB A B F  F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

1)大化 小” 分成n个小弧段F沿M-M:F5,) 所做的功为△W,则 k=1 2)“常代变” 有向小弧段MM用有向线段Mk-Mk=(△x,△yk)》 近似代替，在MxM上任取一点(5,7k),则有 AW≈F(5东，n)M-M =P(sk,nk )Axk +(5k:nk )AYk HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

Mk−1 Mk A B x y 1) “大化 小”. 2) “常代变” L 把L分成 n 个小弧段, 有向小弧段 近似代替, 则有 k k k k = P( , )x + Q( , )y  k   k  所做的功为 F 沿 Wk k Mk 1 Mk ( , ) −      F k ( , ) F  k k  = =  n k W Wk 1 则 用有向线段 在 上任取一点 k y k x 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3)近似和” n W≈ [P(5,)△+Q5k,a)△] k= 4)“取极限” W lim ∑[P(5,kx+Q6,ky] 2→0 k=1 (其中2为n个小弧段的 12 F(5k,） 最大长度) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

3) “近似和” 4) “取极限”  =  n k W 1   k k k k k k P( , )x + Q(ξ , )y  = → = n k W 1 0 lim    k k k k k k P(ξ , η )Δx + Q(ξ , η )Δy Mk−1 Mk A B x y L ( , ) F  k k k y k x (其中 为 n 个小弧段的 最大长度) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2.定义.设L为.xoy平面内从A到B的一条有向光滑 弧，在L上定义了一个向量函数 F(x,y)=(P(x,y),e(x,y)) 若对L的任意分割和在局部弧段上任意取点，极限 [P5,%a+C,ma] k=1 记作 [P(x.ydx+(x.ydy 都存在，则称此极限为函数F(x,y)在有向曲线弧L上 对坐标的曲线积分，或第二类曲线积分其中P(x,y), Q(x,y)称为被积函数，L称为积分弧段或积分曲线 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

2. 定义. 设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑 弧, 若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 都存在, 在有向曲线弧 L 上 对坐标的曲线积分,  + L P(x, y)dx Q(x, y)dy  k k k P( , )x  k k k  + Q( , )y = n k 1 0 lim → 则称此极限为函数 或第二类曲线积分. 其中, 称为被积函数 , L 称为积分弧段 或 积分曲线 . 在L 上定义了一个向量函数 极限 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束

JP(x,yd=lim∑P5&,n)△x&, -→ k=1 称为对x的曲线积分 Qn=四e5w 称为对y的曲线积分 若记dr=(dx,dy),对坐标的曲线积分也可写作 [F.dr=[P(x,y)dx+0(x.y)dy 类似地，若T为空间曲线弧，记dr=(dx,dy,dz) A(x,y,=)=(P(x,y,),(x,y,2),R(x,y,) [A.dr=[P(x.y,z)dx+Q(xy,z)dy+R(,y,z)dz HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

L P(x, y)dx lim ( , ) , 1 0  → = =  n k k k k P   x  L Q(x, y)dy lim ( , ) , 1 0  → = =  n k k k k Q   y  若 为空间曲线弧 , 记 称为对 x 的曲线积分; 称为对 y 的曲线积分. 若记 d r = (d x, d y) , 对坐标的曲线积分也可写作    = + L L F d r P(x, y)dx Q(x, y)dy A(x, y,z) = (P(x, y,z), Q(x, y,z), R(x, y,z)) 类似地, d r = (d x, d y , dz) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3.性质 (1)线性性质 (2)若L可分成2段有向光滑曲线弧L,(i=1,2), 则JPx,yx+Cx,yay -P(x,)dx+(x.)dy+P(x.dx+(dy (3)用L表示L的反向弧，则 JP(x,y)dx+(x)dy=-,P(x,y)dx+(x)dy 说明： ·对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向！ HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

3. 性质 (2) 若 L 可分成 2 段有向光滑曲线弧  + L P(x, y)dx Q(x, y)dy   = + + + 1 2 ( , )d ( , )d ( , )d ( , )d L L P x y x Q x y y P x y x Q x y y (3) 用L－ 表示 L 的反向弧 , 则  = − + L P(x, y)dx Q(x, y)dy 则 说明: • 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 ! 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1)线性性质

二、对坐标的曲线积分的计算法 定理：设P(x,y),Q(x,y)在有向光滑弧L上有定义且 连续，L的参数方程为 x=01:a→B,则曲线积分 (y=v(t) 存在，且有 [P()dx+()dy ="{PIo).v+I.(}dt 证明：下面先证 P(x,ix=P[p.w(eo'u)t HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

二、对坐标的曲线积分的计算法 定理: 在有向光滑弧 L 上有定义且 L 的参数方程为    = = ( ) ( ) y t x t   t : → , 则曲线积分   =   P[ (t), (t)](t)+ Q[ (t), (t)](t)d t 连续, 证明: 下面先证 P[ (t), (t)] dt  =     (t) 存在, 且有 机动 目录 上页 下页 返回 结束

根据定义∫P(x,ix=Im∑P(5,n,)Ax →0 i=1 设分点x,对应参数1，点(5,7)对应参数x,由于 x,=x,-x-1=p(4,)-p(-1)=0'()△ -P(x,yd=Iim∑P[o(),y(g,】p'(x), 2→0 i=1 因为L为光滑弧，所以p'()连续 =lim∑P[o(z),y(9'(), 20 =∫P[p),y()p')d 同理可证 (=)d: HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

设分点 对应参数 根据定义 i x , i t , i  由于  i = i − i−1 x x x ( ) ( ) = i − i−1  t  t i i =()t P[ (t), (t)] dt  =      → = = n i P i i 1 0 lim [ ( ), ( )]  i i ()t  → = = n i P i i 1 0 lim [ ( ), ( )]  i i ( )t (t)  → = =  n i i i i P x 1 0 lim ( , )  对应参数 因为L 为光滑弧 , 同理可证 Q[ (t), (t)] d t  =     (t) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

特别是，如果L的方程为y=必(x),x:a→b,则 P(d+()dy =[P(wxdx x=p(t) 对空间光滑曲线弧【：y=y()t:a→B,类似有 z=0(t) P(x.y.)dx+Q(x.y,zdy+R(xy)dz ={P[p(),w(),o(]o') +Q[p(t),yw(),0()]w'(t) +R[p(t),w(),o)]o'(t)}di HIGH EDUCATION PRESS De0C⊙8 定理目录上页下页返回结束

特别是, 如果 L 的方程为 y = (x), x : a →b, 则 P x x Q x x  x b a [ , ( )] [ , ( )] d  =  +  (x) 对空间光滑曲线弧 : 类似有   =   (t) (t) (t) P[ (t), (t), (t)] : , ( ) ( ) ( )      → = = = t z t y t x t 定理 目录 上页 下页 返回 结束