《线性代数》课程学习指导(C)第三章 矩阵的运算_内容精讲

第三章矩阵的运算 内容精讲 1.矩阵运算的定义 (1)矩阵的加法:若A=a,)m,B=b)n,则A+B=(a,+b,) (2)数与矩阵的乘法:若A=a,),k∈R,则k4=ka,) (3)矩阵乘法:若A=a,)’B=b,)m,则AB=C=lc,)’其中 cy=∑asbg (4)矩阵的逆:设A为n阶矩阵,若存在n阶矩阵B,使得AB=BA=E, 那么矩阵A称为可逆矩阵,而B称为A的逆矩阵,记为A,即A=B, (5)矩阵的初等变换:矩阵的以下三种变换称为初等变换: (I)交换第i行(列)的位置 (Ⅱ)以非零常数k乘第i行(列)的各元素 ()以常数k乘第1行(列)各元素后加到第j行(列)对应的各元素上 这三种变换称为初等行(列)变换,矩阵的初等行变换和初等列变换统称为 矩阵的初等变换。 (6)初等矩阵:对单位矩阵进行一次初等变换后得到的矩阵。 2.矩阵运算规律 (1)加法运算的规律: ①A+B=B+A: ②(A+B)+C=A+B+C): ③A+0=A: ④A-A=0. (2)数乘: ①2AA2:其中1∈R ②1(kM)=(元k)A;其中2eR,k∈R ③(1+k)·A=元·什k·A:其中1∈Rk∈R ④2·(HB)=元·A+入·B:其中1∈R (3)乘法:①(A·B)·C=A·(B·CO:
第三章 矩阵的运算 内容精讲 1.矩阵运算的定义 (1)矩阵的加法:若 m n A aij , m n B bij ,则 m n A B aij bij . (2)数与矩阵的乘法:若 m n A aij ,k R, 则 m n ij kA ka . (3)矩阵乘法:若 m s A aij , s n B bij ,则 m n ij AB C c ,其中 ij c = s k aikbkj 1 . (4)矩阵的逆:设 A 为 n 阶矩阵,若存在 n 阶矩阵 B ,使得 AB BA E, 那么矩阵 A 称为可逆矩阵,而 B 称为 A 的逆矩阵,记为 1 A ,即 1 A = B . (5)矩阵的初等变换:矩阵的以下三种变换称为初等变换: (Ⅰ)交换第 i 行(列)的位置 (Ⅱ)以非零常数 k 乘第 i 行(列)的各元素 (Ⅲ)以常数 k 乘第 i 行(列)各元素后加到第 j 行(列)对应的各元素上. 这三种变换称为初等行(列)变换,矩阵的初等行变换和初等列变换统称为 矩阵的初等变换。 (6)初等矩阵:对单位矩阵进行一次初等变换后得到的矩阵。 2 .矩阵运算规律 (1) 加法运算的规律: ① A+B =B+A; ② (A+B)+C =A+(B+C); ③ A+0 =A; ④ A-A =0. (2) 数乘: ① A=A ;其中 R ② (kA)=( k)A ; 其中 R, k R ③ ( +k)·A= ·A+k·A; 其中 R, k R ④ ·(A+B)= ·A + ·B ; 其中 R (3)乘法:①(A·B)·C =A·(B·C);

②A·(B+C)=A·B+A·C ③(+B)·CA·C+B·C: ④k(A·B)=(kA)·B:其中k∈R 3.基本定理 定理1设A为n阶方阵,则下列命题等价: (I)A满秩: (Ⅱ)A可逆: (I)A≌后 (N)A非奇异: (V)A=卫·E.P,:其中卫(I=12,.M为初等可逆矩阵 定理2当A可逆时,则 其中A为A的伴随矩阵 4.可逆矩阵的性质: 设A,B为同价可逆矩阵,则 (1)(4'=A (20.Eg (3)(4B=BA (4)(A'=(4 1 5.难点解 (1)任何两个矩阵A,B都能进行加,减或相乘运算吗? 答:不是,第一,只有当A,B为同型矩阵时,才能进行加(减)运算:第二, 只有当第一个矩阵A的列数与第二个矩阵的行数相同时,A与B才能相乘。 (2)若A·B=A·C能推出B=C吗? 答:不能,因为矩阵的乘法不满足消去律,如
② A·(B+C)=A·B +A·C; ③(A+B)·C=A·C +B·C; ④k(A·B)=(kA)·B ;其中 k R 3. 基本定理 定理 1 设 A 为 n 阶方阵,则下列命题等价: (Ⅰ)A 满秩; (Ⅱ)A 可逆; (Ⅲ)A ≌E; (Ⅳ) A 非奇异; (Ⅴ)A = P1 · P2 . PN ;其中 Pi (I =1,2,.N)为初等可逆矩阵 定理 2 当 A 可逆时,则 1 A = * | | 1 A A 其中 * A 为 A 的伴随矩阵. 4. 可逆矩阵的性质: 设 A,B 为同价可逆矩阵,则 (1) 1 1 A =A (2) 1 1 1 A k kA ,k≠0,k∈R (3) 1 1 1 A B B A (4) 1 1 A A (5)| 1 A |= | | 1 A 5. 难点解疑 (1)任何两个矩阵 A,B 都能进行加,减或相乘运算吗? 答:不是,第一,只有当 A,B 为同型矩阵时,才能进行加(减)运算;第二, 只有当第一个矩阵 A 的列数与第二个矩阵的行数相同时,A 与 B 才能相乘。 (2)若 A·B =A·C 能推出 B =C 吗? 答:不能,因为矩阵的乘法不满足消去律,如

468c88 则A·=A·C,但B≠C (3)矩阵的乘法满足交换律吗? 答:不满足,如 10 4A=01 =(980 (10 显然A·B≠B·A. (4)两个非零矩阵相乘,结果一定不是零矩阵吗? 答:不一定,如 -0889 则A·B=0. (5)有没有不是方阵的矩阵A·B满足A·B=贸 答:有,如 -08-88 10 (00 则A·B=E (6)设A,B,C为与E同阶的方阵,其中E为单位方阵,若A·B·CE, 间:B·C·A=E,A·C·B=E,C·A·B=E,B·A·C=E,C·B·A=E中哪些 总成立? 答:由于A·B·C=E,A·B=C-,B·C=A,C·A·FE,B·C·作E 总成立,而其它等式则不一定成立
A = 0 0 1 0 ,B = 0 1 0 0 ,C = 0 0 0 0 , 则 A·B=A·C,但 B ≠C (3)矩阵的乘法满足交换律吗? 答:不满足,如 A = 0 1 0 1 0 1 ,B = 0 1 0 0 1 0 , 显然 A·B ≠B·A . (4)两个非零矩阵相乘,结果一定不是零矩阵吗? 答:不一定,如 A= 0 0 1 0 ,B= 0 1 0 0 , 则 A·B =0. (5)有没有不是方阵的矩阵 A·B 满足 A·B = E? 答:有,如 A = 0 0 1 0 0 1 ,B = 0 1 0 0 0 1 , 则 A·B =E. (6)设 A,B,C 为与 E 同阶的方阵,其中 E 为单位方阵,若 A·B·C=E, 问:B·C·A =E,A·C·B =E,C·A·B =E,B·A·C =E,C·B·A =E 中哪些 总成立? 答:由于 A·B·C =E,∴A·B = 1 C ,B·C = 1 A ,∴C·A·B=E,B·C·A=E 总成立,而其它等式则不一定成立
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