《高等数学》课程教学资源（PPT课件）12.7傅里叶级数

第七节 第十二章 停里叶级怒 一、 三角级数及三角函数系的正交性 二、函数展开成傅里叶级数 三、正弦级数和余弦级数 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

第七节 一、三角级数及三角函数系的正交性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、函数展开成傅里叶级数 三、正弦级数和余弦级数 第十二章 傅里叶级数

三角级数及三角函数系的正交性 简单的周期运动：y=Asin(ot+p)(谐波函数) (A为振幅。o为角频率，o为初相) 复杂的周期运动：y=40+∑4nsin(ot+9n) n=1 (谐波迭加) An sin pn cosnot+An cos on sinnot o.aningn b c 00 得函数项级数 +∑a,cosx+b,sinm) 2 称上述形式的级数为三角级数 HIGH EDUCATION PRESS 下页返回结束

一、三角级数及三角函数系的正交性 简单的周期运动 : (谐波函数) ( A为振幅, 复杂的周期运动 : A n t A n t n sinn cos  + n cosn sin  令 sin , an = An n cos , bn = An n 得函数项级数 ( cos sin ) 2 1 0 a nx b nx a n n k +  +  = 为角频率, φ为初相 ) (谐波迭加) 称上述形式的级数为三角级数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

引理：组成三角级数的函数系 1,cosx,inx,c0s2x,sin2x,.,cos7x,sinnx,. 在[-π，]上正交，即其中任意两个不同的函数之积在 [-π，π]上的积分等于0 证：∫1 cosnxdx=∫1 sindx=0(n=1,2,） π cos kx cosnxdx coskxcosnx=[cos(k+n)x+cos(k-n)x] =J[cos(k+n)x+cos(k-n)x]dx=0(k≠n） 同理可证：sin kxsinnxdx=0(k≠n) cos kx sin nx dx =0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

cos(k n)x cos(k n)x d x 2 1 = + + − −   引理: 组成三角级数的函数系 证:  −   1 cos nxd x =  −   1 sin nxd x = 0 cos kx cos nxdx −   = 0 sin sin d = 0 − kx nx x  同理可证  : 正交 , 上的积分等于 0 . 即其中任意两个不同的函数之积在 cos sin d = 0 − kx nx x   (k  n ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在[一π，π] 上的积分不等于0.且有 11d=2a cos'nxdx (n=1,2,.） sin2xdk=元 cos2 nx= 1+cos 2nx 1-cos2nx 2 2 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

上的积分不等于 0 .    11d = 2 − x sin nxdx 2 −   cos n xdx 2 −   , 2 1 cos 2 cos2 nx nx + = 2 1 cos 2 sin2 nx nx − = 且有 =  =  但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、函数展开成傅里叶级数 引理：设f(x)是周期为2π的周期函数，且 fx)=+Σ+b,sin 00 2 n=1 右端级数可逐项积分，则有 〔a=nfw)os=0,1 f()sinndx (n=1,2,.) 证： 对@在[-π，]逐项积分，得 omdh -元 =a0元 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

二、函数展开成傅里叶级数 引理: 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且 ( cos sin ) 2 ( ) 1 0 a nx b nx a f x n n n = +  +  = 右端级数可逐项积分, 则有 证:     +    =  +     − − =1 − − 0 d cos d sin d 2 ( ) n n n x a nx x b nx x a f x dx         ① ② 对①在 逐项积分, 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束

ao=)dx ,/ecoskxdk-2,oskxdr+ owaoardsAa8nd + ak"cos2 kxdx =a (利用正交性) )coskxdx (k=1,2.) 类似地，用sinx乘①式两边，再逐项积分可得 6=日，)sinkxdx&=12 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

= +   − − kx x a f x kx x cos d 2 ( )cos d 0       =   + n 1 + − a kx nx x n cos cos d   b kx nx x n cos sin d −   a kx x k cos d 2 − =   a f x kx x k ( )cos d 1 −  =    ( k =1, 2, ) (利用正交性)   ( )sin d ( 1, 2, ) 1 =  =  − b f x kx x k k    a f (x)d x 1 0 −  =    类似地, 用 sin k x 乘 ① 式两边, 再逐项积分可得 机动 目录 上页 下页 返回 结束

f)-+(a.s+hsn） 00 ① n= f)cosdx (.1. =f()sinnxdx (n=1.2.) 由公式②确定的an,b,称为函数 f(x)的傅里叶系数；以f(x)的傅里 叶系数为系数的三角级数①称为 ∫(x)的傅里叶级数 傅里叶，.B. HIGH EDUCATION PRESS DeOC8 傅里叶目录上页下页返回结束

叶系数为系数的三角级数 ① 称为 的傅里叶系数 ; ( )  = = + + 1 0 cos sin 2 ( ) n n n a nx b nx a f x − = =    ( )cos d ( 0,1, ) 1 an f x nx x n  由公式 ② 确定的 ① ② 以 − = =    ( )sin d ( 1, 2, ) 1 bn f x nx x n  的傅里 的傅里叶级数 . 称为函数 傅里叶 目录 上页 下页 返回 结束

定理收敛定理，展开定理) 设f(x)是周期为2元的 周期函数，并满足狄利克雷(Dirichlet)条件： 1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点， 2)在一个周期内只有有限个极值点 则f(x)的傅里叶级数收敛，且有 注意：函数展成 傅里叶级数的条 件比展成幂级数 n 的条件低得多 -a f(x). x为连续点 x为间断点 2 其中an,bn为f(x)的傅里叶系数，（证明略） HIGH EDUCATION PRESS 简介目 上页下页返回结束

定理 (收敛定理, 展开定理) 设 f (x) 是周期为2的 周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件: 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点; 2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有     = f (x) , , 2 ( ) ( ) + − f x + f x x 为间断点 其中 an bn , 为 f (x) 的傅里叶系数 . ( 证明略 ) x 为连续点 注意: 函数展成 傅里叶级数的条 件比展成幂级数 的条件低得多. 简介 目录 上页 下页 返回 结束

例1.设fx)是周期为2π的周期函数，它在【-π，π) 上的表达式为 ro-fhi π≤x<0 sx< 将f(x)展成傅里叶级数 解：先求傅里叶系数 comdx -2-+号01-ewxd =0 (n=0,1,2,.） HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例1. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 上的表达式为      − −   =   x x f x 1, 0 1, 0 ( ) 解: 先求傅里叶系数   = − +  −     0 0 1 cos d 1 ( 1)cos d 1 nx x nx x = 0 ( n = 0 ,1, 2 , ) 将 f (x) 展成傅里叶级数. o y x −1 − 1  机动 目录 上页 下页 返回 结束

(-)sin mdx+ ]+g-w时 -r1- 当n=1,3,5,. 当n=2,4,6,. (-0<x<+0,x≠0，±π，±2π，.) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

  = − +  −     0 0 1 sin d 1 ( 1)sin d 1 nx x nx x 0 1 cos  −     = n nx   0 1 cos   −   + n nx     n n 1 cos 2 = −   n n 1 ( 1) 2 = − −     = , 4 n 0 , 当n =1, 3 , 5 ,  当n = 2 , 4 , 6 ,   f x =  sin x + 4 ( )  sin 3x + 3 1  − + − + k x k sin(2 1) 2 1 1  (−  x  + , x  0 ,  ,  2 , ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束