《高等数学》课程教学资源（PPT课件）9.8多元函数的极值及其求法

第八节 第九章 多无品数的极值及其求法 一、多元函数的极值 二、最值应用问题 三、条件极值 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

第九章 第八节 一、多元函数的极值 二、最值应用问题 三、条件极值 机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元函数的极值及其求法

一、多元函数的极值 定义：若函数 =f(x,y)在点(xo,o)的某邻域内有 定义，且对此去心邻域内的任意点(x,y) f(x,y)f(x,)》 则称函数在该点取得极大值（极小值）.极大值和极小值 统称为极值，使函数取得极值的点称为极僱 例123： z=3x2+4y2在点(0,0)有极小值， 2=-x2+y2 在点(0,0)有极大值， z=xy在点(0,0)无极值 HIGH EDUCATION PRESS 是上页下页返回结束

x y z 一、 多元函数的极值 定义: 若函数 则称函数在该点取得极大值(极小值). 例1 2 3 : 在点 (0,0) 有极小值; 在点 (0,0) 有极大值; 在点 (0,0) 无极值. 极大值和极小值 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 的某邻域内有 x y z x y z 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义,且对此去心邻域内的任意点

定理1（必要条件）函数z=f(x,y)在点(x0,yo)存在 偏导数，且在该点取得极值，则有 f(o%)=0,f(x0,y%)=0 证：因z=f(xy)在点(xo,yo)取得极值，故 z=∫(x,y0)在x=x,取得极值 z=f(xo,y)在y=yo取得极值 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立 说明：使偏导数都为0的点称为驻点 但驻点不一定是极值点 例3，z=xy有驻点(0,0)，但在该点不取极值 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 . 例3, 定理1 (必要条件) 函数 偏导数, 证: 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立. ( , ) 0 , ( , ) 0 f x  x0 y0 = f y  x0 y0 = 取得极值 , 取得极值 取得极值 但驻点不一定是极值点. 有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值. 且在该点取得极值 , 则有 存在 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理2（充分条件）若函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数，且 fx(x0,0)=0,fy(x0,0)=0 令A=fxx(xo,o),B=fxy(x0,0),C=fyy(x0,0） A0时，具有极值 A>0时取极小值 2)当AC-B2<0时，没有极值 3)当AC-B2=0时，不能确定，需另行讨论 证明见第九节 HIGH EDUCATION PRESS 下页返回结束

时, 具有极值 定理2 (充分条件) 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且 令 则: 1) 当 A0 时取极小值. 2) 当 3) 当 证明见 第九节 . 时, 没有极值. 时, 不能确定 , 需另行讨论. 若函数 z = f (x, y) 在点(x0 , y0 )的 f x (x0 , y0 ) = 0 , f y (x0 , y0 ) = 0 ( , ) , ( , ) , ( , ) 0 0 0 0 0 0 A f x y B f x y C f x y = xx = x y = y y 0 2 AC − B  0 2 AC − B  0 2 AC − B = 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例4.求函数f(x,y)=x3-y3+3x2+3y2-9x的极值 解：第一步求驻点。 fx(x,y)=3x2+6x-9=0 解方程组 f,(x,y)=-3y2+6y=0 得驻点：(1,0)，(1,2)，(-3,0)，(-3,2) 第二步判别.求二阶偏导数 B fx(x,y)=6x+6,fx(xy)=0,fy(x,y)=-6y+6 在点(1,0)处A=12,B=0,C=6, AC-B2=12×6>0,A>0, .f(1,0)=-5为极小值 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例4. 求函数 解: 第一步 求驻点. 得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) . 第二步 判别. 在点(1,0) 处 为极小值; 解方程组 A B C 的极值. 求二阶偏导数 f (x, y) = 6x + 6, xx f (x, y) = 0, xy f y y (x, y) = −6y + 6 12 6 0, 2 AC − B =   A  0, 机动 目录 上页 下页 返回 结束

在点(1,2)处A=12,B=0,C=-6 4C-B2=12×(6)0,A<0, ∴f(-3,2)=31为极大值 fxx(x,y)=6x+6,fxy(x,y)=0,fyy(x,y)=-6y+6 A B HIGH EDUCATION PRESS 机动目 是上页下页返回结束

在点(−3,0) 处 不是极值; 在点(−3,2) 处 为极大值. f (x, y) = 6x + 6, xx f (x, y) = 0, xy f y y (x, y) = −6y + 6 12 6 0, 2 AC − B = −   12 ( 6) 0, 2 AC − B = −  −  A  0, 在点(1,2) 处 12 ( 6) 0, 不是极值; 2 AC − B =  −  A B C 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、最值应用问题 依据 函数f在闭域上连续 函数f在闭域上可达到最值 驻点 最值可疑点 边界上的最值点 特别，当区域内部最值存在，且只有一个极值点P时 f(P)为极小（大）值>f(P)为最小（大）值 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

二、最值应用问题 函数 f 在闭域上连续 函数 f 在闭域上可达到最值 最值可疑点    驻点 边界上的最值点 特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时, f (P) 为极小(大) 值 f (P) 为最小(大) 值 依据 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例5.某厂要用铁板做一个体积为2m的有盖长方体水 问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？ 解：设水箱长宽分别为x,ym,则高为子m, 则水箱所用材料的面积为 4=2w+y号*x号=2w++3)(8 令4=20=0 得驻点(/2,32) A=2(x-3)=0 根据实际问题可知最小值在定义域内应存在，因此可 断定此唯一驻点就是最小值点即当长、宽均为2 高为2。=2时，水箱所用材料最省 等HIGH EDUCATION PRESS 机动目 下页返回结束

例5. 解: 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为 则水箱所用材料的面积为 令 得驻点 某厂要用铁板做一个体积为2 根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 的有盖长方体水 问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省? m, 2 x y ( ) x y x y 2 2 = 2 + + 2( ) 0 2 2 = − = x x A y 2( ) 0 2 2 = − = y y A x 因此可 断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 高为 时, 水箱所用材料最省. ( 2 , 2) 3 3 3 2 3 2 2 2 2 3 3 =  机动 目录 上页 下页 返回 结束

例6.不讲有一宽为24cm的长方形铁板把它折起来做成 一个断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断面面 积最大 解：设折起来的边长为xcm,倾角为α，则断面面积 为 A=(24-2x+2xcos a +24-2x).xsina 24xsina-2x-sina +x-cosasina (D:0<x<12,0<a<) 24 24-2x HIGH EDUCATION PRESS @e00⊙8 机动目录上页下页返回结束

例6.不讲 有一宽为 24cm 的长方形铁板 把它折起来做成 , 解: 设折起来的边长为 x cm, 则断面面积 x 24 一个断面为等腰梯形的水槽, 倾角为 , (24 − 2x + 2x cos 2 1 ) xsin 24 sin 2 sin cos sin 2 2 = x − x + x 24−2x  x 积最大. ( : 0 12, 0 ) 2  D  x    为 问怎样折法才能使断面面 机动 目录 上页 下页 返回 结束

A=24xsina-2x-sina+x2 】 cosasina (D:0<x<12,0<a<) Ay =24sina -4xsina+2xsinacosa =0 令 Aa =24xcosa-2x2 cosa +x2(cos2 a-sin2a)=0 sinc≠0，x≠0 12-2x+xcos a =0 24cosa-2xcosa+x(cos2a-sin2 a)=0 解得： a=7=60,x=8(cm) 由题意知，最大值在定义域D内达到，而在域D内只有 一个驻点故此点即为所求 HIGH EDUCATION PRESS 机动目 上页下页返回结束

24x cos 2 cos 2 − x (cos sin ) 0 2 2 2 + x  −  = 令 Ax =24sin − 4xsin + 2xsin cos = 0 A = 解得: 由题意知,最大值在定义域D 内达到, 而在域D 内只有 一个驻点, 故此点即为所求. sin  0 , x  0 24 sin 2 sin cos sin 2 2 A = x − x + x ( : 0 12, 0 ) 2  D  x    12 − 2x + x cos = 0 24cos 2 cos (cos sin ) 0 2 2  − x  + x  −  = 60 , 8 (cm) 3 = = x =    机动 目录 上页 下页 返回 结束