《高等数学》课程教学资源（PPT课件）8.6空间曲线及其方程

第之节 第八章 空间曲线及其方程 一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

第八章 一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影 第六节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间曲线及其方程

一、空间曲线的一般方程 空间曲线可视为两曲面的交线，其一般方程为方程组 F(x,y,2)=0 G(x,y,z)=0 r(x,/ (x,y=0 例1，方程组 x2+y2=1 2x+3z=6 表示圆柱面与平面的交线C HIGH EDUCATION PRESS 下页返回结束

一、空间曲线的一般方程 空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组 S2 L G(x, y,z) = 0 F(x, y,z) = 0 1 S 例1,方程组 表示圆柱面与平面的交线 C. x z 1 y o C 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2，方程组 =a2-x2-y 1x2+y2-ax=0 2 表示上半球面与圆柱面的交线C HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例2,方程组 表示上半球面与圆柱面的交线C. y x z a 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、空间曲线的参数方程 将曲线C上的动点坐标x,表示成参数1的函数： x=x(t) 称它为空间曲线的 y=y(t) 2=z(t) 参数方程 例3，圆柱螺旋线 的参数方程为 x=acosot V y =asin@t 令0=0t,b= x=acos z=vt y=asin z=b0 当0=2π时，上升高度h=2πb,称为螺距 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

z x y o 二、空间曲线的参数方程 将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数t 的函数: 称它为空间曲线的 参数方程. 例3,圆柱螺旋线    v 令 = t , b = h = 2 b 的参数方程为 上升高度 , 称为螺距 .  M 机动 目录 上页 下页 返回 结束

三、空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线C的一般方程为 F(x,y,z)=0 G(x,y,2)=0 消去：得投影柱面H(x,y)=0, 则C在xoy面上的投影曲线C为 H(x,y)=0 0z=0 消去x得C在oz面上的投影曲线方程 R(y,z)=0 x=0 消去y得C在zox面上的投影曲线方程 T(x,z)=0 、y=0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

三、空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线 C 的一般方程为 消去 z 得投影柱面 则C 在xoy 面上的投影曲线 C´为 消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程 消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程    = = 0 ( , ) 0 z H x y    = = 0 ( , ) 0 x R y z    = = 0 ( , ) 0 y T x z z y x C C 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例4， 在xoy面上的投影曲线方程为 x2+2y2-2y=0 z=0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

z y x C 1 o 例4, 在xoy 面上的投影曲线方程为    = + − = 0 2 2 0 2 2 z x y y    + − + − = + + = ( 1) ( 1) 1 1 : 2 2 2 2 2 2 x y z x y z C 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例5 上半球面 z=4-x2-y2和锥面z=3(x2+y2) 所围的立体在xoy面上的投影区域为：二者交线在 xoy面上的投影曲线所围之域 二者交线 c 在xoy面上的投影曲线 所围圆域：x2+y2≤1，z=0 HIGH EDUCATION PRESS D0C8 机动目录上页下页返回结束

z x y o 1 C 例5 所围的立体在 xoy 面上的投影区域为: 上半球面 和锥面 在 xoy 面上的投影曲线 二者交线 1, 0. 2 2 所围圆域: x + y  z = 二者交线在 xoy 面上的投影曲线所围之域 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

内容小结 ·空间曲线 一三元方程组 或参数方程（如，圆柱螺线 求投影曲线 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

内容小结 • 空间曲线 三元方程组 或参数方程 • 求投影曲线 (如, 圆柱螺线) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

答案：P51题1 x=1 z=√4-x2-y2 (1) (2) y=2 y-x=0 ↑ HIGH EDUCATION PRESS @eOC①8 机动目录上页下页返回结束

P51 题1 (2) o z y x o 1 2 x =1 y = 2 (1) 2 2 z = 4 − x − y y − x = 0 x z y o 2 答案: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

x2+z2=a2 (3) x2+y2=a2 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

(3) z x y o a o a 2 2 2 x + z = a 2 2 2 x + y = a 机动 目录 上页 下页 返回 结束