《高等数学》课程教学资源（PPT课件）8.5曲面及其方程

第五节 第八章 曲面及其方程 一、曲面研究的基本问题 二、 旋转曲面 三、 柱面 四、二次曲面 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

四、二次曲面 第五节 一、曲面研究的基本问题 二、旋转曲面 三、柱面 机动 目录 上页 下页 返回 结束 曲面及其方程 第八章

曲面研究的基本问题 两个基本问题： (1)已知一曲面作为点的几何轨迹时 求曲面方程 (2)已知方程时，研究它所表示的几何形状 (必要时需作图) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

一、曲面研究的基本问题 机动 目录 上页 下页 返回 结束 两个基本问题 : (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时, 求曲面方程. (2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状 ( 必要时需作图 )

例1.求动点到定点M0(x0,0,z0)距离为R的轨迹 方程 解：设轨迹上动点为M(x,y,z),依题意MoM=R 即 V(x-xo)2+(y-y%)2+(2-02=R 故所求方程为 (x-)2+y-%)2+(E-0)2=R2 特别，当M在原点时球面方程为 Mo x2+y2+z2=R2 2=士√R2-x2-y2表示上（下球面 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

故所求方程为 例1. 求动点到定点 方程. 特别,当M0在原点时,球面方程为 解: 设轨迹上动点为 即 依题意 距离为 R 的轨迹 x y z o M M0 表示上(下)球面 . x − x + y − y + z − z = R 2 0 2 0 2 0 ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 0 2 0 (x − x ) + (y − y ) + (z − z ) = R 2 2 2 2 x + y + z = R 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.研究方程x2+y2+22-2x+4y=0表示怎样 的曲面 解：配方得 (x-1)2+(0y+2)2+z2=5 此方程表示 球心为M(1,-2,0) 半径为√5的球面 说明：如下形式的三元二次方程(A≠0) A(x2+y2+z2)+Dx+Ey+Fz+G=0 都可通过配方研究它的图形.其图形河可能是 一个球面，或点，或虚轨迹 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例2. 研究方程 解: 配方得 5 (1, 2, 0), 此方程表示: M0 − 说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 ) 都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是 的曲面. 表示怎样 半径为 的球面. 球心为 一个球面 , 或点 , 或虚轨迹. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、旋转曲面 定义.一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转 一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转 轴· 例如： HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

定义. 一条平面曲线 二、旋转曲面 绕其平面上一条定直线旋转 一周所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转 轴 . 例如 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束

建立voz面上曲线C绕z轴旋转所成曲面的方程： 给定y0z面上曲线C:f(y,z)=0 若点M,(0,)∈C,则有 f(M,)=0 当绕z轴旋转时，该点转到 三M1(0,y1,2) M(x,y,z),则有 M(x,2 =名x2+y2= 故旋转曲面方程为 f(±√x2+y2,)=0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程: 故旋转曲面方程为 M (x, y,z) , 当绕 z 轴旋转时, f (y1 ,z1 ) = 0 (0, , ) , 若点 M1 y1 z1 C 给定 yoz 面上曲线 C: (0, , ) 1 1 1 M y z M (x, y,z) 1 2 2 1 z = z , x + y = y 则有 ( , ) 0 2 2 f  x + y z = 则有 该点转到 f (y,z) = 0 o z y x C 机动 目录 上页 下页 返回 结束

思考：当曲线C绕y轴旋转时，方程如何？ C:f(y,z)=0 f(y,±Vx2+z2)=0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？ C : f (y,z) = 0 o y x z ( , ) 0 2 2 f y  x + z = 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3.试建立顶点在原点，旋转轴为z轴，半顶角为 的圆锥面方程 解：在0z面上直线L的方程为 z=ycota 绕Z轴旋转时，圆锥面的方程为 M(0,y,2) z=±Vx2+y2cota 令a=cota 两边平方 22=a2(x2+y2) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为 的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为 绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为 ( ) 2 2 2 2 z = a x + y x y z  两边平方 L M (0, y,z) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例4.求坐标面xo2上的双曲线 x2 22 2c2 =1分别绕x 轴和z轴旋转一周所生成的旋转曲面方程 解：绕x轴旋转所成曲面方程为 x2 v2+22 绕z轴旋转所成曲面方程为 x2+y22 这两种曲面都叫做旋转双曲面！ HIGH EDUCATION PRESS 0△0C①8 机动目录上页下页返回结束

x y 例4. 求坐标面 xoz 上的双曲线 分别绕 x 轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解:绕 x 轴旋转 1 2 2 2 2 2 = + − c y z a x 绕 z 轴旋转 1 2 2 2 2 2 − = + c z a x y 这两种曲面都叫做旋转双曲面. 所成曲面方程为 所成曲面方程为 z 机动 目录 上页 下页 返回 结束

三、柱面 引例.分析方程 x2+y2=R2 表示怎样的曲面 解在xoy面上，x2+y2=R表示圆C 在圆C上任取一点M(x,y,0),过此点作 平行z轴的直线1，对任意z,点M(x,y,) 的坐标也满足方程x2+y2=R2 沿曲线C平行于：轴的一切直线所形成的曲面称为圆 柱面.其上所有点的坐标都满足此方程，故在空间 x2+y2=R2表示圆柱面 HIGH EDUCATION PRESS 机动目 下页返回结束

x y 三、柱面 z 引例. 分析方程 表示怎样的曲面 . 的坐标也满足方程 解:在 xoy 面上， 表示圆C, 2 2 2 x + y = R 沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆 故在空间 2 2 2 x + y = R 过此点作 柱面. 平行 z 轴的直线 l , 对任意 z , 表示圆柱面 C o 在圆C上任取一点 ( , ,0), 1 M x y l M M1 点M (x, y,z) 其上所有点的坐标都满足此方程, 机动 目录 上页 下页 返回 结束