《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，B）第五章 相似矩阵与二次型 §5.6 正定二次型

第五章相似矩阵与二次型、 §5.6 正定二次型 正定二次型的概念 正定二次型的判定 负定二次型的概念 四、小结思考题

第五章 相似矩阵与二次型 §5.6 正定二次型 二、正定二次型的判定 三、负定二次型的概念 四、小结 思考题 一、正定二次型的概念

第五章相似矩阵与二次型 一、】 正定二次型的概念 定义5.6.1设f=XAX为实二次型，如果对任意 维列向量X≠0，都有f=XAX>0,则称f=X'AX为 正定二次型，并称对称矩阵A是正定矩阵；如果对任 意维列向量X≠0，都有f=X'AX≥0，则称f=X'AX 为半正定二次型，并称对称矩阵A是半正定矩阵。 例如∫=x好+号+.+房 为正定二次型 f=+x3+.+x(r<)为半正定二次型

第五章 相似矩阵与二次型 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 ( ) n r f x x x f x x x r n = + + + = + + +  例如 为正定二次型 为半正定二次型 , 0, 0, , ; 0, 0, 5.6.1 , . f X AX n X f X AX f X AX n X f X AX f X A A AX =   =  =    =  =   设 为实二次型 如果对任意 维列向量 都有 则称 为 正定二次 并称 如果对任 意 维列向量 都有 则称 为 对称矩阵 是正定矩阵 对称矩阵 型 半正定二 是半正 定 次型 并称 定矩阵 义 一、正定二次型的概念

第五章相似矩阵与二次型 二、正定二次型的判别 定理5.6.1实二次型f=XAX为正定的充分必要条件 是其标准形(5-13)式中个系数全大于零 证：设二次型f=XAX经可逆线性变换 X=CY化为标准形f=+2房+.+九y月 充分性： 若2>0(i=1,2,m),对于任意的X≠0，则有 Y=C-1X≠0 故f(X)=f(CY)=y+22Jy吃+.+Jy元>0 即二次型正定

第五章 相似矩阵与二次型 二、正定二次型的判别 (5 13) . 5.6.1 f X AX n =  − 实二次型 为正定的充分必要条件 是其标准形 式中 个系数全 定 大于零 理 2 2 2 C 1 1 2 2 n n f X AX X Y f y y y    =  = = + + + 证:设二次型 经可逆线性变换 化为标准形 充分性 : 1 0( 1,2, , ) 0 0 i i n X Y C X  −  =  =  若 ，对于任意的 ，则有 2 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) 0 n n 故 f X f CY y y y = = + + +     即二次型f正定

第五章相似矩阵与二次型 必要性（反证法） 假设存在某个2，≤0，取Y=e,(单位向量)， 当X=Ce、≠0，则有f(X)=f(Ce,)=元，≤0. 上式与f为正定二次型矛盾，因而2>0(i=1,2,m), 推论1对称矩阵A为正定的充分必要条件是A的 特征值全为正。 推论2实二次型f=X'AX为正定的充分必要条件 是它的规范标准形为f=y+y+.+y

第五章 相似矩阵与二次型 必要性(反证法) 0 ( ) 0 ( ) ( ) 0. s s s s s Y e X Ce f X f Ce    = =  = =  假设存在某个 ，取 单位向量 ， 当 ，则有 0( 1,2, , ). i 上式与f i n 为正定二次型矛盾，因而  = 推论1 对称矩阵A为正定的充分必要条件是A的 特征值全为正. 2 2 2 1 2 2 n f X AX f y y y =  = + + + 实二次型 为正定的充分必要条件 是它的规范标准形为 推论

第五章相似矩阵与二次型 推论3实二次型f=X'AX为正定则A>0. 因为A正定，所以二次型f=XAX正定，经可逆线性 变换X=CY化为标准形f=2+2y+.+九y员 由定理5.6.1知，2，>0(i=1,2,),又因 0 022 C'AC=A= 0 所以CAC=ClA=A=22.2n>0 而C≠0，故A>0

第五章 相似矩阵与二次型 推论3 实二次型f X AX A =   为正定则| | 0. 2 2 2 1 1 2 2 n n A f X AX X CY f y y y    =  = = + + + 因为 正定，所以二次型 正定，经可逆线性 变换 化为标准形 1 2 5.6.1 0( 1,2, , ) 0 0 0 0 0 0 i n i n C AC       =        = =       由定理 知， ，又因 2 1 2 0 C AC C A     n 所以| | | || | | |  = = =  而| |C A   0 0. ，故| |

第五章相似矩阵与二次型 特别注意：反之，结论不成立 设A为阶对称矩阵，由A的前k行前k列元素构成 41 012 的阶行列式 21 L22 (2k Qk2 kk 称为矩阵A=(a)的k阶顺序主子式

第五章 相似矩阵与二次型 特别注意：反之，结论不成立 1 0 0 1 A   − =     − 11 12 1 21 22 2 1 2 ( ) . k k k k kk ij A n A k k a a a a a a k a a a A a = k 设 为 阶对称矩阵，由 的前 行前 列元素构成 的 阶行列式 称为矩阵 的 阶顺序主子式

第五章相似矩阵与二次型 定理5.6.2实二次型f=XAX为正定的充分必要条件 是它的矩阵的所有顺序主子式全大于零. 例1判断下列二次型的正定性 (1)f=3x+4xx2+4x号-4x2x3+5x (2)f=-5x2+4xx2+4xx3-6x-4x3 [3 20 解：)二次型的矩阵为 A= 2 4-2 0 -2 5

第五章 相似矩阵与二次型 5.6. . 2 f X AX A 实二次型 =  为正定的充分必要条件 是它的矩阵 的所有顺序主子式 定 全大于零 理 2 2 2 1 1 2 2 2 3 3 2 2 2 1 1 2 1 3 2 3 1 3 4 4 4 5 5 4 4 6 4 f x x x x x x x f x x x x x x x = + + − + = − + + − − 例 判断下列二次型的正定性 (1) (2) 解:(1)二次型的矩阵为 3 2 0 2 4 2 0 2 5 A     = −       −

第五章相似矩阵与二次型 以P记它的顺序主子式，则 B=3>0,乃= 3-80,非28>0 由定理5.6.2知，f正定. -5 22 (2)三次型的矩阵为 A= 2 -6 0 2 0 -4 它的顺序主子式， =-50,P3=A=-80<0 由定理5.6.2知，不是正定的

第五章 相似矩阵与二次型 以Pk记它的顺序主子式，则 1 2 3 3 2 3 0, 8 0, | | 28 0 2 4 P P P A =  =  = =  ＝ 由定理5.6.2知，f正定. (2)二次型的矩阵为 5 2 2 2 6 0 2 0 4 A   −   = −       − 它的顺序主子式， 1 2 3 5 2 5 0, 26 0, | | 80 0 2 6 P P P A − = −  =  = = −  − ＝ 由定理5.6.2知，f不是正定的

第五章相似矩阵与二次型 三、负定二次型的概念 定义设f=X'AX为实二次型，如果对任意维非零 列向量X≠0，都有f=X'AX<0,则称f=XAX为 负定二次型，并称对称矩阵A是负定矩阵；如果对任意 非零维列向量X≠0，都有f=X'AX≤0，则称f=X'AX 为半负定二次型，并称对称矩阵4是半负定矩阵 例如f=-x子-x子-x品 为负定二次型 f=-x子-x好-x(r<m)为半负定二次型

第五章 相似矩阵与二次型 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 ( ) n r f x x x f x x x r n = − − − − = − − − −  例如 为负定二次型 为半负定二次型 , 0, 0, , ; 0 . , 0, , f X AX n X f X AX f X AX n A X f X AX f X AX A =   =  =    =  =   对称矩 设 为实二次型 如果对任意 维非零 阵 是负定 列向量 都有 则称 为 负定二次型 并称 如果对任 半负定二次型 意 非零 维列向量 都有 则称 为 并 矩阵 对称矩阵 是 定 称 半负定矩阵 义 三、负定二次型的概念

第五章相似矩阵与二次型 定理5.6.3 实二次型f=X'AX为负定的充分必要条件 是它的矩阵4的所有奇数顺序主子式小于零，偶数顺序 主子式大于零 例2证明实对称矩阵A正定的充分必要条件是 存在可逆矩阵U,使得A=U'U. 充分性：设存在可逆矩阵U,使得A=U'U, 则对任意非零列向量X,有UX≠0，从而 XAX=XUUX-(UX)(UX)>0 所以实二次型f=XAX正定，故矩阵A正定

第五章 相似矩阵与二次型 5.6.3 . f X AX A 实二次型 =  为负定的充分必要条件 是它的矩阵 的所有奇数顺序主子式小于零，偶数顺序 定 主子式大于零 理 2 . A U A U U =  例 证明实对称矩阵 正定的充分必要条件是 存在可逆矩阵 ，使得 0, ( ) ( ) 0 U A U U X UX X AX X U UX UX UX =       = =  设存在可逆矩阵 ，使得 ， 则对任意非零列向量 ，有 从而 所以实二次型f X AX A =  正定，故矩阵 正定. 充分性：