《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，B）第五章 相似矩阵与二次型 §5.5 二次型及其标准形

第五章相似矩阵与二次型 §5.5 二次型及其标准形 二次型的概念 川和 二次型的矩阵表示 二次型的标准形 次型的秩 五、小结思考题

第五章 相似矩阵与二次型 §5.5 二次型及其标准形 二、二次型的矩阵表示 三、二次型的标准形 五、小结 思考题 一、二次型的概念 四、二次型的秩

第五章相似矩阵与二次型 三次型的理论起源于化三次曲线、三次曲面的 方程为标准形的问题我们知道在平面解析几何中， 当坐标原点与曲线中心重合时，有心二次曲线的一 般方程是 ax2 +2bxy cy2 d (5-9) 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，可选择 适当的角度0，做旋转变换 x=x'cos0-y'sina, y=x'sin+y'cose

第五章 相似矩阵与二次型 二次型的理论起源于化二次曲线、二次曲面的 方程为标准形的问题.我们知道在平面解析几何中， 当坐标原点与曲线中心重合时，有心二次曲线的一 般方程是 2 2 ax bxy cy d + + = − 2 (5 9) 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，可选择 适当的角度θ，做旋转变换 cos sin , sin cos , x x y y x y      = −    = +   

第五章相似矩阵与二次型 把方程5-9)化成标准方程 a'x'2+c'y'd (5-10) (5-10)式左边是一个二元二次齐次多项式，它只 含有平方项.我们把该问题推广到一般情况，从而建 立起二次型理论。该理论在数学和物理中都有广泛的 应用，它是线性代数的重要内容之一其中心问题是 讨论如何把一般二次齐次多项式经可逆线性变换转化 成平方和的形式

第五章 相似矩阵与二次型 把方程(5-9)化成标准方程 2 2 a x c y d     + = − (5 10) (5-10)式左边是一个二元二次齐次多项式，它只 含有平方项.我们把该问题推广到一般情况，从而建 立起二次型理论。该理论在数学和物理中都有广泛的 应用，它是线性代数的重要内容之一.其中心问题是 讨论如何把一般二次齐次多项式经可逆线性变换转化 成平方和的形式

第五章相似矩阵与二次型 一、二次型的概念 定义5.5.1含有个变量x1,x2,x的二次齐次多项式 f(飞1,2，xn)=ax+2a2xx2++2a1mxxn +u22+.+2a2mX2xn+.+0nnx7 (5-11) 称为二次型 当a是复数时，f称为复二次型； 当a是实数时，f称为实二次型

第五章 相似矩阵与二次型 ( ) 1 2 2 1 2 11 1 12 1 2 1 1 2 2 22 2 2 2 , , , , , , 2 2 2 (5 5.5.1 11 . ) n n n n n n nn n n x x x f x x x a x a x x a x x a x a x x a x = + + + + + + + + − 定 含有 个变量 的二次齐次多项式 称为二次型 义 , ; , . ij ij a f a f 当 是复数时 称为 当 是实数时 称 复二次型 为实二次型 一、二次型的概念

第五章相似矩阵与二次型 例如x+X1x2+3x1K3+2x2+4x2x3+3x ix x2 +5x+(3+i)xx3+v2xx 都为二次型；我们下面讨论的二次型均为实二次型 设由y1,2,yn到变量x1,x2,x的线性变换为 =Cu+C122+.+cinyn2 X2=C211+C2J》2+.+C2myn, (5-12) Xn=Cmy+Cn2y2+.+Cmnyn

第五章 相似矩阵与二次型 例如 都为二次型；我们下面讨论的二次型均为实二次型. 2 2 2 1 1 2 1 3 2 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 4 3 2 4 3 5 (3 ) 2 x x x x x x x x x ix x x i x x x x + + + + + + + + + 1 2 1 2 1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 , , , , , , , , (5 12) . n n n n n n n n n nn n y y y x x x x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y    = + ++   = + ++  −    = + ++  设由 到变量 的线性变换为

第五章相似矩阵与二次型 或写成为矩阵形式：X=CY 其中 X= X2 ，Y= y2 C=(Ci)mxn Xn yn 可见，线性变换把二次型变为二次型

第五章 相似矩阵与二次型 或写成为矩阵形式: X CY = 1 1 2 2 , ( )ij m n n n x y x y X Y C c x y              = = =               其中 ， 可见，线性变换把二次型变为二次型

第五章相似矩阵与二次型 二、二次型的矩阵表示 取aH=ag则2ax,x影=x,x,+4xx,(i<j) 于是f=a1x+a2X,x2++4nXxm +a212X1+a22号+.+42nK2Xn +.+0nxnX1+an2xn2+.+anmx =1(a11X1+12x2++41mXn) +x2(a21X1+422X2+.+a2mXn) +.+Xn(am1X1+an2X2+.+amxn）

第五章 相似矩阵与二次型 二、二次型的矩阵表示 2 11 1 12 1 2 1 1 2 21 2 1 22 2 2 2 2 1 1 2 2 n n n n n n n n nn n f a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x = + + + + + + + + + + + + ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 n n n nn n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x + + + + + + + + + = + + +     2 ( ) ji ij ij i j ij i j ji j i 取a a a x x a x x a x x i j = = +  ，则 于是

第五章相似矩阵与二次型 411X1+412X2+.+41mXn =[X13X2,.,xn] 021X1+2X2++02nXm niX1+an2X2+.+AnnXn」 1 12 21 a2 =[1,2.,xn a2n 七2

第五章 相似矩阵与二次型 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 [ , , , ] n n n n n nn n a a a x a a a x x x x a a a x             =             11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 2 1 1 2 2 [ , , , ] n n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x x x x a x a x a x   + + +   + + +   =       + + +

第五章相似矩阵与二次型 X1 记 A= L21 a2 X= X2 (n2 nn 则二次型可记作f=XAX,其中A称为二次型的矩阵 显然，A是对称矩阵.二次型与对称矩阵是一一对应. 例如，二次型f=x2-3x2-4x,x3+x的矩阵为 「10 0 A= 0 -3 -2 0 -2 1

第五章 相似矩阵与二次型 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 , , n n n n nn n a a a x a a a x A X a a a x             = =             记 则二次型可记作 , . f X AX A =  其中 称为二次型的矩阵 显然，A是对称矩阵. 二次型与对称矩阵是一一对应. 2 2 2 1 2 2 3 3 例如，二次型f x x x x x = − − + 3 4 的矩阵为 1 0 0 032 0 2 1 A     = − −       −

第五章相似矩阵与二次型 我们知道，经过线性变换二次型仍为二次型， 下面讨论经可逆线性变换后二次型的矩阵与原二次 型的矩阵之间的关系， 设二次型f=XAX,作可逆线性变换X=CY f=X'AX=(CY)A(CY) -Y'(C'AC)Y=YBY 其中B=CAC B'=(C'AC)=C'A(C)=B 所以B是对称矩阵，因而它是变换后二次型的矩阵

第五章 相似矩阵与二次型 我们知道，经过线性变换二次型仍为二次型， 下面讨论经可逆线性变换后二次型的矩阵与原二次 型的矩阵之间的关系. 设二次型f X AX X CY = =  ，作可逆线性变换 f X AX CY A CY = =   ( ) ( ) = = Y C AC Y Y BY    ( ) 其中B C AC =  B C AC C A C B       = = = ( ) ( ) 所以B是对称矩阵，因而它是变换后二次型的矩阵