《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第一章 函数与极限_1-1 映射与函数

第一章 盖数与极民 函数一 研究对像 分析基础 极限一 研究方法 连续一 研究桥梁

第一章 分析基础 函数 极限 连续 — 研究对象 — 研究方法 — 研究桥梁 函数与极限

第一章 第一节 联射与盖教 一、 映射 二、函数 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

第一章 二、函数 一、映射 第一节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 映射与函数

映射 1.映射的概念 定义.设X,Y是两个非空集合，若存在一个对应规 则f,使得Hx∈X,有唯一确定的y∈Y与之对应，则 称f为从X到Y的映射，记作f:X→Y 元素y称为元素x在映射f下的像，记作y=f(x) 元素x称为元素y在映射f下的原像 集合X称为映射f的定义域，D, Y的子集f(X)={f(x)x∈X}称为f的值域.R HIGH EDUCATION PRESS e0C⊙8 机动目录上页下页返回结束

定义. 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规 则 f , 使得 有唯一确定的 与之对应 , 则 称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X → Y . 元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像 , 记作 y = f ( x). 元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像 . 集合 X 称为映射 f 的定义域 ; Y 的子集 f (X ) =  f (x) x  X  称为 f 的 值域 . X f Y 机动 目录 上页 下页 返回 结束 Rf Df 一、 映射 1. 映射的概念

注意：1）映射的三要素一定义域，对应规则，值域 2)元素x的像y是唯一的，但y的原像不一定唯一 对映射f:X→Y 若f(X)=Y,则称f为满射 Y=f(x) 若V6,x2∈X,x1≠x2,有 f(x)≠∫(x2】 则称f为单射； f(X 若f既是满射又是单射，则称f为双射或一一映射 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

对映射 若 f (X ) = Y , 则称 f 为满射; X Y f = f ( X ) 若 有 则称 f 为单射; 若 f 既是满射又是单射, 则称 f 为双射 或一一映射. X Y 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意: 1) 映射的三要素— 定义域 , 对应规则 , 值域 . 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一

说明： 映射又称为算子在不同数学分支中有不同的惯用 名称例如， X(卡☑ Y(数集) f称为X上的泛函 X(卡☑ f称为X上的变换 X(数集或点集) 一R 称为定义在X上的为函数 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

X (数集 或点集 ) 说明: 在不同数学分支中有不同的惯用 X (≠  ) Y (数集) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 f f 称为X 上的泛函 X (≠  ) X f f 称为X 上的变换 R f f 称为定义在 X 上的为函数 映射又称为算子. 名称. 例如

2.逆映射与复合映射 (1)逆映射的定义 定义：若映射f:Df(D)为单射，则存在一新映射 f1:f(D)→D,使yef(D),f(y)=x,其中f(x)=y, 称此映射f为f的逆映射 习惯上，y=f(x),x∈D 的逆映射记成 y=f'(x),x∈f(D) 例如，映射y=x2,x∈(-0,0]，其逆映射为 y=-√/x,x∈[0，+0) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

2. 逆映射与复合映射 (1) 逆映射的定义 定义: 若映射 为单射, 则存在一新映射 使 习惯上 , y = f (x), x  D 的逆映射记成 ( ) , ( ) 1 y = f x x  f D − 例如, 映射 其逆映射为 D f (D) f −1 f 其中 称此映射 −1 f 为 f 的逆映射 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

(2)复合映射 引例. D 手电筒 复合映射 D HIGH EDUCATION PRESS e0C①8 机动目录上页下页返回结束

(2) 复合映射 机动 目录 上页 下页 返回 结束 D1 手电筒 D D D2 引例. 复合映射

定义设有映射链 X 8 →Y) 则当ycY,时，由上述映射链可定义由X到Z的复 合映射，记作z=fIg)]∈Z或fog(x),x∈D Z=f(Y) g(x z=f(y) Y =f[g( 注意：构成复合映射的条件gX)cY,不可少 以上定义也可推广到多个映射的情形 為HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

定义. X g Y1 Y2 f 则当 Y Y 1 2  由上述映射链可定义由 X 到 Z 的复 f  g(x), x  D. 设有映射链 合映射 , 记作 时, 或 Y1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意: 构成复合映射的条件 2 g( X ) Y  不可少. 以上定义也可推广到多个映射的情形

二、函数 1.函数的概念 定义4.设数集DcR,则称映射f:D→R为定义在 D上的函数，记为 定义域 y=f(x),x∈D 因变量 自变量 f(D)称为值域R, 函数图形： C={(x,y)y=f(x),x∈D》 a X (D=[a,b]) HIGH EDUCATION PRESS 0eOC①8 机动目录上页下页返回结束

定义域 二、函数 1. 函数的概念 定义4. 设数集 D  R , 则称映射 为定义在 D 上的函数 , 记为 y = f (x), x  D f ( D ) 称为值域 函数图形: C = (x , y) y = f (x ) , x  D  x y ( D = [ a , b ] ) a x b y 机动 目录 上页 下页 返回 结束 因变量 自变量 Rf

一y∈f(D)={yy=f(x),x∈D》 (定义域) (对应规则 (值域 定义域 使表达式及实际问题都有意义的自变量 集合 •对应规律的表示方法： 解析法、图像法、列表法 例如，反正弦主值y=∫(x)=arcsin x 定义域D=【-1,1],值域/(D)=[-受，受] x,x≥0 又如绝对值函数1过==Xx<0 定义域D=R 值域f(D)=[0,+o) 0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

 x  D f y  f (D) =  y y = f ( x), x  D  (定义域) (对应规则) (值域) 例如, 反正弦主值 • 定义域 • 对应规律的表示方法: 解析法 、图象法、列表法 使表达式及实际问题都有意义的自变量 集合. 定义域 值域 又如, 绝对值函数 定义域 值 域 机动 目录 上页 下页 返回 结束