《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第二章 导数与微分_2-5 函数的微分

第五节 第二章 画数的批分 微分的概念 二、 微分运算法则 三、 微分在近似计算中的应用 四、微分在估计误差中的应用 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

二、微分运算法则 三、微分在近似计算中的应用 四、微分在估计误差中的应用 第五节 一、微分的概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的微分 第二章

一、 微分的概念 引例：一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其 边长由x变到x。+△x,问此薄片面积改变了多少？ 设薄片边长为x,面积为A,则A=x2,当x在x取 得增量△x时，面积的增量为 △4=(x,+△x)2-x, x0△x =2x0Ax+(△x) 关于△x的 △x→0时为 xo A=x 线性主部 高阶无穷小 故 △A≈2x0△x 称为函数在xo的微分 HIGH EDUCATION PRESS 动目录上页下页返回结束

一、微分的概念 引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 , 2 A = x 0 x x 面积的增量为 x x 0 2 0 A = x x x 0 2 (x) 关于△x 的 线性主部 高阶无穷小 x → 0 时为 故 称为函数在 x0 的微分 当 x 在 0 x 取 得增量 x 时, 0 x 变到 , 0 边长由 x + x 其 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定义：若函数y=f(x)在点x,的增量可表示为 △y=f(x0+△x)-f(xo)=A△x+o(△x) (A为不依赖于△x的常数) 则称函数y=f(x)在点x。可微，而A△x称为f(x)在 点x,的微分，记作dy或df,即 dy=A△x 定理：函数y=f(x)在点x,可微的充要条件是 y=f(x)在点x处可导，且A=f"(x),即 dy f"(xo)Ax HIGH EDUCATION PRESS -OC8 机动目录上页下页返回结束

的微分, 定义: 若函数 在点 x0 的增量可表示为 ( A 为不依赖于△x 的常数) 则称函数 y = f (x) 而 Ax 称为 记作 即 dy = Ax 定理: 函数 在点 x0 可微的充要条件是 = Ax + o(x) 即 dy = f (x )x 0 在点 可微, 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理：函数y=f(x)在点x可微的充要条件是 y=f(x)在点x处可导，且A=f'(xo),即 dy=f'(xo)△x 证：“必要性” 已知y=f(x)在点x可微，则 △y=f(x+△x)-f()=A△x+o(△x) 四1+)=4 △x-→0△X△x→0 故y=f(x)在点x可导，且∫'(x,)=A HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

定理 : 函数 证: “必要性” 已知 在点 可微 , 则 ( ) ( ) 0 0  y = f x + x − f x ) ( ) lim lim ( 0 0 x o x A x y x x   = +     →  → = A 故 = Ax + o(x) 在点 可导, 且 在点 x0 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即 dy = f (x )x 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理：函数y=f(x)在点x,可微的充要条件是 y=f(x)在点xo处可导，且A=f'(xo),即 dy=f'(xo)△x “充分性”已知y=f(x)在点x的可导，则 lim △y=∫'(xo) △x>0△X Av=f(x)+a (lim a=0) △x Ax->0 故△y=f'(x)△x+QAx=f'(x)Ax+OAx) 线性主部 (f'(xo)≠0时) 即dy=f'(xo)Ax HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

定理 : 函数 在点 x0 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即 dy = f (x )x 0 “充分性” 已知 lim ( ) 0 0 f x x y x =     → =  +    ( ) 0 f x x y ( lim 0 ) 0 =  →  x y = f (x )x +x 故 0 ( ) ( ) 0 = f  x x + o x  线性主部 即 dy = f (x )x 0 在点 的可导, 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束

说明：△y=f'(x)△x+o(△x) dy=f'(x)△x 当f'(x)≠0时， lim △y=lim △y △x-→0dy Ax0f'(x)△x lim f'(xo)x-0△x 所以△x→0时Ay与dy是等价无穷小，故当△x 很小时，有近似公式 △y≈d HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

说明: ( ) 0 f  x0  时 , dy = f (x )x 0 ( ) ( ) 0 y = f  x x + o x y y x d lim 0   → f x x y x    =  → ( ) lim 0 0 x y f x x    =  →0 0 lim ( ) 1 =1 所以 x → 0 时 y dy 很小时, 有近似公式 x y  dy 与 是等价无穷小, 当 故当 机动 目录 上页 下页 返回 结束

微分的几何意义 切线纵坐标的增量 dy=f'(xo)△x=tana·△x dy y=f(x) 当△x很小时，△y≈dy 当y=x时， Ar=A dr 称△x为自变量的微分，记作dx x0+△x 则有 dy=f'(x)dx 从而 =f'(x) 导数也叫作微商 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

微分的几何意义 dy = f (x )x 0 x + x 0 x y o y = f (x)  0 x y = tan x dy 当 x 很小时, y  dy 当y = x 时， 则有 dy = f (x)dx 从而 ( ) d d f x x y =  导数也叫作微商 切线纵坐标的增量 称x为 自变量的微分, 记作 dx y = x = dx 记 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例如，y=x3 dy 3x2.dx x=2 =0.24 x=2 dx=0.02 dx=0.02 又如，y=arctanx, dy 1+x 基本初等函数的微分公式（见P115表） HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例如, , 3 y = x dy d 0.02 2 = = x x 2 = 3x dx d 0.02 2 = = x x = 0.24 y = arctan x , dy x x d 1 1 2 + = 基本初等函数的微分公式 (见 P115表) 又如, 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、 微分运算法则 设(x),vx)均可微，则 1.d(u±v)=du士dh 2.d(C0=Cd1 (C为常数) 3.d(uv)vdu+udv 4的-学0 5.复合函数的微分 y=f(),u=p(x)分别可微 则复合函数y=f[p(x)]的微分为 dy =ydx f(u)p'(x)dx →du dy f"(u)du 微分形式不变 HIGH EDUCATION PRESS ©◆0C08 机动目录上页下页返回结束

二、 微分运算法则 设 u(x) , v(x) 均可微 , 则 (C 为常数) 分别可微 , 的微分为 = f (u)(x)dx du dy = f (u)du 微分形式不变 5. 复合函数的微分 则复合函数 = du  dv = vdu + udv 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.y=ln(1+e),求dy, 1+eedx3) .2xdx 2xex HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例1. 求 解: 2 1 1 d x e y + = d(1 ) 2 x + e  + = 2 1 1 x e d ( ) 2 x e x x e x x 2 d 1 1 2 2   + = x e xe x x d 1 2 2 2 + = 2 x e 机动 目录 上页 下页 返回 结束