《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第二章 导数与微分_2-3 高价导数

第三为 第二章 高阶导数 一、 高阶导数的概念 二、高阶导数的运算法则 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

二、高阶导数的运算法则 第三节 一、高阶导数的概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高阶导数 第二章

一、高阶导数的概念 引例：变速直线运动s=s(t) ds 速度 1= dt 即v=s 加速度 a=di 即 a=(s)' HIGH EDUCATION PRESS DeOC①8 机动目录上页下页返回结束

一、高阶导数的概念 速度 即 v = s  加速度 即 a = (s ) 引例：变速直线运动 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定义.若函数y=f(x)的导数y=f'(x)可导，则称 了x)的导数为/)的二阶寻数，记作y或，即 d y=oW或-出 类似地，二阶导数的导数称为三阶导数，依次类推 n-1阶导数的导数称为n阶导数，分别记作 或 dx dx HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

定义. 若函数 y = f (x) 的导数 y  = f (x) 可导, 或 即 y  = ( y ) 或 ) d d ( d d d d 2 2 x y x x y = 类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , n −1 阶导数的导数称为 n 阶导数 , 或 的导数为 f (x) 的二阶导数 , 记作 依次类推 , 分别记作 则称 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.设y=a0+a1x+a2x2++anx”,求ym) 解：y=a1+2a2x+3a3x2++anx"- y”=2la2+3.2a3x++n-10anx”-2 依次类推，可得 ym)nlan 思考：设y=x“(u为任意常数)，问ym=? (x“)m）=4(4-1(4-2)(4-n+1)x4-9 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

设 求 解: y  = a1 +2a2 x + −1 + n n  na x y  = 21a2 + a x3 3 2 2 ( 1) − + + − n n  n n a x 依次类推 , n n y n!a ( ) = + 2 3 3a x 例1. 思考: 设 ( 为任意常数),  y = x 问 可得 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.设y=e,求ym 解：y-ae,y”=a2e，y"=ae y(n)a"eax y'= 1-x 特别有 (ex)(n)=ex v" 例3.设y=ln(1+x),求ym (1-x)2 0+,y”=(← 212 (1+x)3 .， =(← (1+x)” 规定0！=1 思考：y=ln(1-x),ym=- (n-1)月 (1-x)” HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

n (1+ x) , , y  = a 3 e ax  例2. 设 求 解: 特别有: 解: (n −1)! 规定 0 ! = 1 思考: , ax y = e . (n) y , ax y  = ae , 2 ax y  = a e n n ax y = a e ( ) x n x e =e ( ) ( ) 例3. 设 求 , 1 1 x y +  = , (1 ) 1 2 x y +  = − , (1 ) 1 2 ( 1) 3 2 x y +   = − = (n) y 1 ( 1) − − n x y −  = − 1 1 y  = − 2 (1 ) 1 − x  , 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例4.设y=sinx,求ym) 解：y'=cosx=sin(x+) y"=cos(+)=sin(+ =sin(x+2~Ξ) y"=cos(+2)=sin(+3) 一般地，(sinx)m=sin(x+n·〉 类似可证 (cosx)m)=cos(x+ng） HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例4. 设 求 解: y  = cos x sin( ) 2  = x + cos( ) 2  y  = x + sin( ) 2 2   = x + + sin( 2 ) 2  = x +  cos( 2 ) 2  y  = x +  sin( 3 ) 2  = x +  一般地 , x = x + n (sin ) sin( ( ) 类似可证: x = x + n (cos ) cos( ( ) ) 2  n  ) 2  n  机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、高阶导数的运算法则 设函数u=u(x)及v=v(x)都有n阶导数，则 1.(u士)m）=u)±va 2.(Cu)m）=Cm） (C为常数) 3.(uv)()=uv+n(-Dy+n u(n-2)" 2列 n(n-1).(n-k+1)u(() k! +.+v( 莱布尼兹Leibniz)公式 HIGH EDUCATION PRESS 推导目录上页下页返回结束

二、高阶导数的运算法则 都有 n 阶导数 , 则 (C为常数) 2! n(n −1) ! ( 1) ( 1) k n n − n − k + + +   莱布尼兹(Leibniz) 公式 设函数 及 推导 目录 上页 下页 返回 结束

例7.y=x2e2x,求y20) 解：设u=e2x,v=x2,则 u=2e2x(k=1,2,.,20） v'=2x,v"=2, yk)=0(k=3,.,20) 代入莱布尼兹公式，得 y20)=220e2x.x2+20219e2.2x+ 2019 21 218e2x.2 =220e2x(x2+20x+95) HIGH EDUCATION PRESS 0eOC①8 机动目录上页下页返回结束

例7. 求 解: 设 , , 2 2 u e v x x = = 则 k k x u e ( ) 2 = 2 v  = 2x , v  = 2 , 0 ( ) = k v 代入莱布尼兹公式 , 得 = (20) y x e 20 2 2 2  x x e 19 2 + 20  2  2x 2 ! 2019 +  2 x e 18 2 2 ( k =1, 2 ,  , 20 ) (k = 3 ,  , 20) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

内容小结 高阶导数的求法 (1)逐阶求导法 (2)利用归纳法 (3)间接法 一利用已知的高阶导数公式 n! 如， (as m=(1 (a+x)+1 (1= n a-x (a-x)"+ (4)利用菜布尼兹公式 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

内容小结 (1) 逐阶求导法 (2) 利用归纳法 (3) 间接法 —— 利用已知的高阶导数公式 (4) 利用莱布尼兹公式 高阶导数的求法 ( ) = + 1 (n) a x 1 ( ) ! ( 1) + + − n n a x n ( ) = − 1 (n) a x 1 ( ) ! + − n a x n 如, 机动 目录 上页 下页 返回 结束

思考与练习 1.如何求下列函数的n阶导数？ (1) 1-x 2 y= 解：y=-1+ 1+x 1+x ym=2(-10 n! (1+x)+1 (2) V= 1-x 解：y=-x2-x-1+,1 1-x y(n)= n! (1-x)+ n≥3 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

思考与练习 1 ( ) (1 ) ! 2( 1) + + = − n n n x n y , 3 (1 ) ! 1 ( )  − = + n x n y n n 1. 如何求下列函数的 n 阶导数? x x y + − = 1 1 (1) x x y − = 1 (2) 3 解: 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束