《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第二章 导数与微分_3-4 隐函数的导数

第四节 第二章 隐画数和参数方程求导 相关变化牵 一、 隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

第四节 一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率 机动 目录 上页 下页 返回 结束 隐函数和参数方程求导 相关变化率 第二章

一、 隐函数的导数 若由方程F(x,y)=0可确定y是x的函数，则称此 函数为隐函数 由y=f(x)表示的函数，称为显函数 例如，x-y3-1=0可确定显函数y=1-x y+2y-x-3x7=0可确定y是x的函数 但此隐函数不能显化 隐函数求导方法：F(x,y)=0 两边对x求导 F(x,y)=0(含导数y的方程 dx HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

一、隐函数的导数 若由方程 可确定 y 是 x 的函数 , 由 表示的函数 , 称为显函数 . 例如, 可确定显函数 可确定 y 是 x 的函数 , 但此隐函数不能显化 . 函数为隐函数 . 则称此 隐函数求导方法: 两边对 x 求导 (含导数 y  的方程) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.求由方程y5+2y-x-3x?=0确定的隐函数 y=y(x)在x=0处的导数 dy dx x =0 解：方程两边对x求导 0+2y-x-3x)=0 dx 得 5y2dy+2y-1-21r=0 dx dx dy1+21x6 dx 5v4+2 因x=0时y=0,故 dy dxx=0 2 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例1. 求由方程 在 x = 0 处的导数 解: 方程两边对 x 求导 得 x y y d d 5 4 x y d d + 2 −1 6 − 21x = 0 5 2 1 21 d d 4 6 + +  = y x x y 因 x = 0 时 y = 0 , 故 确定的隐函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2 例2.求椭圆 =1在点(2，多3)处的切线方程 169 解：椭圆方程两边对x求导 。yy'=0 8 V3 x=2 x=2 16yy33 4 故切线方程为 5-2》 即 W3x+4y-83=0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例2. 求椭圆 在点 处的切线方程. 解: 椭圆方程两边对 x 求导 8 x + y  y  9 2 = 0  y  2 3 2 3 = = x y y x 16 9 = − 2 3 2 3 = = x y 4 3 = − 故切线方程为 3 2 3 y − 4 3 = − (x − 2) 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3.求有方程x-y+。simy=0所确定的隐函数的 解：两边对x求导 1 +cos dy =O dx 2 dx 2 于是 dx 2-cosy 上式两边再对x求导 2 d"y -2sin y dy -4sin y x -2smy2-cosy】 dx? (2-cosy (2-cosy月 (2-cos y) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例3. 求有方程 所确定的隐函数的 解: 两边对 x 求导 1 dx dy − = 0 dx dy 2 cos y 2 − = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 dx dy cos y 2 1 + 于是 上式两边再对 x 求导 2 2 dx d y ( ) 2 2 cos 2sin y dx dy y − − = ( ) ( ) 2 2 cos 2 cos 2 2sin y y y − − − = ( ) 3 2 cos 4sin y y − − =

例4.求y=xm(x>0)的导数 解：两边取对数，化为隐式 In y sinx.Inx 两边对x求导 =cosx.nx+sinx sinx =xsin *(cosx.Inx+si HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例4. 求 的导数 . 解: 两边取对数 , 化为隐式 两边对 x 求导 y y  1 = cos x ln x x sin x + ) sin (cos ln sin x x y x x x x   =  + 机动 目录 上页 下页 返回 结束

说明： 1)对幂指函数y='可用对数求导法求导 In y vlnu -vin: x=u"(vInu+") 注意： y'=u"Inu.v'+vu".u 按指数函数求导公式 按幂函数求导公式 HIGH EDUCATION PRESS D-C①8 机动目录上页下页返回结束

1) 对幂指函数 v y = u 可用对数求导法求导 : ln y = v lnu y y  1 = v ln u u u  v + ( ln ) u u v y u v u v   =  + y u u v v  = ln   vu u v +   −1 说明: 按指数函数求导公式 按幂函数求导公式 注意: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2)有些显函数用对数求导法求导很方便 例如， 两边取对数 Iny=xIn+a[lnb-Inx]+b[Inx-Ina] b 两边对x求导 aa b y-g;-) HIGH EDUCATION PRESS 动目录上页下页返回结束

2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 例如, 两边取对数 ln y = 两边对 x 求导 =  y y b a ln x a − x b + + b a x ln a[lnb − ln x ] +b[ln x − ln a ] 机动 目录 上页 下页 返回 结束

(x-1)(x-2) 又如，y三 V(x-3)(x-4) 两边取对数 () u ny=nx-1+mx-2-1nx-3-1mx-4] 对x求导 w3 x-1x-2x-3x-4 HIGH EDUCATION PRESS ©-◆0C①8 机动目录上页下页返回结束

又如, ( 3)( 4) ( 1)( 2) − − − − = x x x x y u u u  (ln ) =  2 1 ln y = 对 x 求导  2 1 =  y y   4 1 3 1 2 1 1 1 − − − − − + x − x x x 两边取对数 ln x −1 + ln x − 2 − ln x − 3 − ln x − 4  + −1 1 x 2 1 x − 3 1 − − x  4 1 − − x 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、由参数方程确定的函数的导数 若参数方程 x=o(t) y=v(t) 可确定一个y与x之间的函数 关系，p(),(t)可导，且[p'()]+[y'()]≠0，则 0(1)≠0时，有 dy-dy.dt=dy.1) dx dt dx di dx p'(t) w(1)≠0时，有 dt dxdx dt 1 p'(t) dy dt dy dt dy w'(t) (此时看成x是y的函数》 di HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

二、由参数方程确定的函数的导数 若参数方程 可确定一个 y 与 x 之间的函数 可导, 且 则 (t)  0 时, 有 = x y d d x t t y d d d d  t t x y d d 1 d d =  ( ) ( ) t t     = (t)  0 时, 有 = y x d d y t t x d d d d  t t y x d d 1 d d =  ( ) ( ) t t     = (此时看成 x 是 y 的函数 ) 关系, 机动 目录 上页 下页 返回 结束