《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第三章 微分中值定理与导数的应用_3-4 函数的单调性与曲线的凹凸性

第四节 第三章 强数的单调性与 曲线的凹凸性 函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸与拐点 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

第四节 一、函数单调性的判定法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、曲线的凹凸与拐点 函数的单调性与 曲线的凹凸性 第三章

一、 函数单调性的判定法 定理1.设函数f(x)在开区间I内可导，若f'(x)>0 (f'(x)0,x∈I,任取，x2∈I(10 5∈(x1,x2)cI 故∫(x)<∫(x2).这说明f(x)在I内单调递增 证毕 HIGH EDUCATION PRESS D◆0C8 机动目录上页下页返回结束

一、 函数单调性的判定法 定理 1. 设函数 若 ( f (x)  0), 则 在 I 内单调递增 (递减) . 证: 无妨设 任取 由拉格朗日中值定理得  0 故 这说明 在 I 内单调递增. 在开区间 I 内可导, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证毕

例1.确定函数f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调区间 解：f"(x)=6x2-18x+12=6(x-1(x-2) 令f'(x)=0,得x=1,x=2 (-0,1）1(1,2) 2 (2,+∞) f'(x) f(x) 2 故f(x)的单调增区间为(-0,1)，(2，+∞) f(x)的单调减区间为(1,2) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例1. 确定函数 的单调区间. 解: ( ) 6 18 12 2 f  x = x − x + = 6(x −1)(x − 2) 令 f (x) = 0 , 得 x =1, x = 2 x f (x) f (x) (−,1) 2 0 0 1 (1, 2) (2, + ) + − + 2 1 故 的单调增区间为 (−,1), (2, + ); 的单调减区间为 (1, 2). 1 2 o x y 1 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束

说明： 1)单调区间的分界点除驻点外，也可是导数不存在的点 例如，y=/x2,xe(-0,+o) 2 3 2)如果函数在某驻点两边导数同号， 则不改变函数的单调性 例如，y=x3,xE(-0,+0) y'=3x2 y1x=0=0 HIGH EDUCATION PRESS D色OC①8 机动目录上页下页返回结束

y o x 说明: 1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如, 3 2 y = x 2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如, y o x 3 y = x 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.证明0<x<7: 时，成立不等式 s1nx、2 2 π 证：令f(x)= sinx 2 则/()在(0，上连续，在(0，上可导，目 (x)=xcosx-sinx_cosx 证 x2 (x-tanx)<0 x2 因此f(x)在(0，)内单调递减， tan x 又f)在号处左连续，因此()≥/()=0 从而 xe( HIGH EDUCATION PRESS 证明目录上页下页返回结束

例2. 证明 时, 成立不等式 证: 令 , sin 2 ( )  = − x x f x 2 cos sin ( ) x x x x f x  −  = ( tan ) cos 2 x x x x = − 1 tan x x  0 从而 因此 且 证 证明 目录 上页 下页 返回 结束

二、曲线的凹凸与拐点 定义.设函数f(x)在区间1上连续，x1,x2∈1， (1) 若恒有了西))牛/），则称)的 2 图形是凸的 连续曲线上有切线的凹凸分界点 称为拐点 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

A B 定义 . 设函数 在区间 I 上连续 , (1) 若恒有 则称 图形是凹的; (2) 若恒有 则称 连续曲线上有切线的凹凸分界点 称为拐点 . 图形是凸的 . y o x1 x2 x 2 1 2 x +x y o x1 x 2 1 2 x +x 2 x y o x 二、曲线的凹凸与拐点 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理2.（凹凸判定法）设函数f(x)在区间1上有二阶导数 (1)在I内f"(x)>0,则(x)在I内图形是凹的；t/ (2)在1内∫"(x)<0,则f(x)在1内图形是凸的.△ 证：Vx1,x2∈I,利用一阶泰勒公式可得 f)=fěf f"(5 2 21 )f- 1十X X1+X2 21 两式相加 f)+f)=2f)+(色)2[”(51)+f"(52] 当/")20时.≥2 说明(1)成立 2)1 证毕 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

定理2.(凹凸判定法) (1) 在 I 内 则 在 I 内图形是凹的 ; (2) 在 I 内 则 在 I 内图形是凸的 . + − 证: 利用一阶泰勒公式可得 ( ) ( ) 1 f x = f 2 1 2 x + x 2! ( ) 1 f  + 2 1 (x − ) 2 1 2 x + x ( ) ( ) 2 f x = f 2 1 2 x + x + f ( ) 2 1 2 x + x ( ) x2 − 2 1 2 x + x 2 ! ( )  2 f  + 2 2 (x − ) 2 1 2 x + x 两式相加 ( ) ( ) 2 ( ) 1 2 f x + f x = f 2 1 2 x + x 2 2! 2 1 ( ) 2 1 x −x + [ ( ) ( )] 1  2 f  + f  当f (x)  0时, ( ), 2 ( ) ( ) 1 2 f f x f x  + 2 1 2 x + x 说明 (1) 成立;  (2) + f ( ) 2 1 2 x + x ( ) 1 x 2 1 2 x + x  机动 目录 上页 下页 返回 结束 设函数 在区间I 上有二阶导数 证毕

例3.判断曲线y=x的凹凸性 解：y=4x3,y”=12x2 当x≠0时，y”>0;x=0时，y”=0, 故曲线y=x4在(-0，+0)上是向上凹的 说明： 1)若在某点二阶导数为0，在其两侧二阶导数不变号， 则曲线的凹凸性不变 2)根据拐点的定义及上述定理可得拐点的判别法如下： 若曲线y=f(x)在点x,连续，∫"(xo)=0或不存在 但"(x)在x两侧异号，则点(xo,f(xo)》是曲线 y=∫(x)的一个拐点 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例3. 判断曲线 的凹凸性. 解: 4 , 3 y  = x 故曲线 在 上是向上凹的. 说明: 1) 若在某点二阶导数为 0 , 2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下: 若曲线 或不存在, 但 f (x) 在 两侧异号, 0 x 则点 ( , ( )) 0 0 x f x 是曲线 的一个拐点. 则曲线的凹凸性不变 . 在其两侧二阶导数不变号, x y o 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例4.求曲线y=x日 的拐点」 解：y=x为，y=-x为 (-0,0） (0,+0） 不存在 17 凹 0 因此点(0,0)为曲线y=x的拐点 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例4. 求曲线 的拐点. 解: , 3 2 3 1 − y  = x 3 5 9 2 − y  = − x x y  y (−,0) 0 (0,+ ) 不存在 0 + − 因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线 的拐点 . 凹 凸 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例5.求曲线y=3x4-4x3+1的凹凸区间及拐点 解：1)求y” y=12x3-12x2,y”=36x2 2)求拐点可疑点坐标 令y”=0得=0，x2=号，对加 3)列表判别 -00,0 (0,) (,+0) 22 0 凹 凹 故该曲线在(-∞，0)及(，+∞)上向上凹，在(0，)上 向上凸，点(0,1)及()均为拐点 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

36 ( ) 3 2 = x x − 例5. 求曲线 的凹凸区间及拐点. 解: 1) 求 y  12 12 , 3 2 y  = x − x 2) 求拐点可疑点坐标 令 y  = 0 得 0 , , 3 2 x1 = x2 = 对应 3) 列表判别 27 11 1 2 y =1, y = (−,0) (0, ) 3 2 ( , ) 3 2 +  y  x y 0 3 2 + 0 0 1 27 11 − + 故该曲线在 (−,0) ( , ) 3 及 2 +  上向上凹, 向上凸 , 点 ( 0 , 1 ) 及 ( , ) 27 11 3 2 均为拐点. 在(0, 3 2 )上 凹 凸 凹 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3 2 (0,1) ( , ) 27 11 3 2