《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第四章 不定积分_4-3 分部积分

第三节 第四章 多部积分法 由导数公式 (uv)'u'v +uv' 积分得： uv [u'vdx+[uv'dx 分部积分公式 选取u及v'(或dv)的原则： 1)v容易求得； 2)uvdr比∫uv'dx容易计算 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

第三节 由导数公式 (uv) = u  v + uv  积分得: uv = u  vdx + uv dx   分部积分公式 uv dx uv u v dx    = −  或 ud v uv v du   = − 1) v 容易求得 ; 容易计算 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 分部积分法 第四章

例1.求xcos xdx 解：令u=x,V=Cosx, 则=l,v=sinx .原式=xsinx-「sinxdx =xsinx+cosx+C 思考：如何求∫x2 sin xdx? 提示：令u=x2,y'=Sinx,则 原式=-x2cosx+2 xcos xdx 三 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例1. 求 解: 令 u = x , v  = cos x , 则 u  =1, v = sin x ∴ 原式 = xsin x  − sin x dx = xsin x + cos x +C 思考: 如何求 提示: 令 , 2 u = x v  = sin x, 则 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.求xInxdx 解：令u=lnx,v'=x 则 )3 521nx-x2+C HIGH EDUCATION PRESS ©-色OC③8 机动目录上页下页返回结束

例2. 求 x ln x dx.  解: 令 u = ln x, v  = x 则 , 1 x u  = 2 2 1 v = x 原式 = x ln x 2 1 2  − x dx 2 1 = x x − x + C 2 2 4 1 ln 2 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3.求x arctanx dx 解：令u=arctanx,V'=x 则 u'=- 1+x2=x .原式=，xarcianx 2J1+x d -2 arctanx- 0-中 arctanx- (x-arctanx)+C HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例3. 求 x arctan x dx.  解: 令 u = arctan x, v  = x 则 , 1 1 2 x u +  = 2 2 1 v = x ∴ 原式 x arctan x 2 1 2 =  + − x x x d 2 1 1 2 2 x arctan x 2 1 2 =  + − − x x ) d 1 1 (1 2 1 2 x arctan x 2 1 2 = − (x − arctan x) + C 2 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例4.求exsinxdx. 解：令u=sinx,v'=ex,则 u'=cosx,v=ex 原式=e*sinx-∫e*cos x dx 再令u=cosx,v'=ex,则 u'=-sinx,v=ex e*sinx-e*cosx-[e*sin xdx 故 原式=)e*(sinx-cosx)+C 说明：也可设u=e,v'为三角函数，但两次所设类型 必须一致 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例4. 求 e sin x dx. x  解: 令 u = sin x, x v  = e , 则 u  = cos x , x v = e ∴ 原式 e x x = sin  − e x x x cos d 再令 u = cos x , x v  = e , 则 u  = −sin x , x v = e e x x = sin  − e x − e x x x x cos sin d 故 原式 = e x x C x (sin − cos ) + 2 1 说明: 也可设 为三角函数 , 但两次所设类型 必须一致 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

解题技巧：选取及v的一般方法」 把被积函数视为两个函数之积，按 ”反对幂指三” 顺序，前者为u后者为v' 的 反：反三角函数 对对数函数 例5.求arccos x dx 幂幂函数 解：令u=arccos x,v'=l,则 指指数函数 三：三角函数 原式=xarccos+∫d xarccos x-2 ∫0-x2)d01-x2) =x arccosx- v1-x2+C HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

解题技巧: 把被积函数视为两个函数之积 , 按 “ 反对幂指三” 的 顺序, 前者为 u 后者为 v  . 例5. 求 解: 令 u = arccos x , v  =1 , 则 , 2 1 1 x u −  = − v = x 原式 = x arccos x  − + x x x d 2 1 = x arccos x (1 ) d(1 ) 2 2 2 1 2 1  − − − − x x = x arccos x− − x +C 2 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 反: 反三角函数 对: 对数函数 幂: 幂函数 指: 指数函数 三: 三角函数

例7.求∫edrx 解：令x=t,则x=t2,dx=2tdi 原式=2∫iedi 令u=t,v'=e =2(te'-e')+C =2ex(x-1)+C HIGH EDUCATION PRESS ©-色OC®8 机动目录上页下页返回结束

例7. 求 解: 令 x = t, 则 , 2 x = t dx = 2t d t 原式 t e t t 2 d  = t = 2(t e e x C x = 2 ( −1) + u = t , t v  = e ) t − e + C 机动 目录 上页 下页 返回 结束 令

说明： 分部积分题目的类型 1)直接分部化简积分； 2)分部产生循环式，由此解出积分式； (注意：两次分部选择的，v函数类型不变， 解出积分后加C) 例4 3)对含自然数n的积分，通过分部积分建立递 推公式 HIGH EDUCATION PRESS 例4目录上页下页返回结束

说明: 分部积分题目的类型: 1) 直接分部化简积分 ; 2) 分部产生循环式 , 由此解出积分式 ; (注意: 两次分部选择的 u , v 函数类型不变 , 解出积分后加 C ) 例4 3) 对含自然数 n 的积分, 通过分部积分建立递 推公式 . 例4 目录 上页 下页 返回 结束

例11.已知f(x)的一个原函数是osx,求xf'(x)dx 解：∫x/x)dr=xdr) =xf(x)-「f(x)d =x(0 COSx +C =-sinx-2cosx +C 说明：此题若先求出∫'(x)再求积分反而复杂 jxrd=- cosx+ sinx,2cosx HIGH EDUCATION PRESS ◆0C8 机动目录上页下页返回结束

例11. 已知 的一个原函数是 求 解: x f (x)dx  x d f (x)  = = x f (x) f (x)dx  − = x ( )  x cos x C x x − + cos = −sin x − C x x + cos 2 说明: 此题若先求出 再求积分反而复杂. 机动 目录 上页 下页 返回 结束  =  x f (x)dx x x x x x x d 2sin 2cos cos 2     +   − + 

内容小结 分部积分公式 ∫uv'dx=uv-∫ardx 1.使用原则：v易求出，「'ydr易积分 2.使用经验：“反对幂指三”，前u后 3.题目类型： 分部化简；循环解出； 递推公式 4.计算格式： HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

v u  内容小结 分部积分公式 u v dx u v u v dx    = −  1. 使用原则 : v u v dx  易求出,  易积分 2. 使用经验 : “反对幂指三” , 前 u 后 v  3. 题目类型 : 分部化简 ; 循环解出; 递推公式 4. 计算格式 : v u  +  − 机动 目录 上页 下页 返回 结束