《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第三章 微分中值定理与导数的应用_3-7曲率

第七节 第三章 平面曲线的曲牵 曲线的弯 与切线的转角有关 曲程度 与曲线的弧长有关 主要内容： 一 弧微分 二、 曲率及其计算公式 三、 曲率圆与曲率半径 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

第七节 曲线的弯 曲程度 与切线的转角有关 与曲线的弧长有关 机动 目录 上页 下页 返回 结束 主要内容: 一、 弧微分 二、 曲率及其计算公式 三、 曲率圆与曲率半径  M M M  平面曲线的曲率 第三章

一、弧微分 设y=f(x)在(a,b)内有连续导数，其图形为 AB 弧长s=AM=s(x) (x) MM MM MM △x MM' V(△x)2+(△y)2 MM △x x+△x MM MM =士1 .s'(x)=lim Ax0△x HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

一、 弧微分 设 在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB, 弧长 s = AM = s(x) x s   M M M M   = x M M    M M M M   = x x y   +   2 2 ( ) ( ) M M M M   =  2 1 ( ) x y   + x s s x x     =  →0 ( ) lim 2 = 1+ ( y ) x A B y = f (x) a b x o y x M x + x M y lim 1 0 =     → M M M M x 机动 目录 上页 下页 返回 结束

s'(x)=1+(y2 .ds=√1+(ydx或ds=V(dx2+(dyy 若曲线由参数方程表示 x=x☑ (y=y(t) 则弧长微分公式为 ds=√2+少d1 几何意义： ds =MT dx dy cosa; sina ds ds xx+dx x HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

则弧长微分公式为 ds x y d t 2 2 =  +  ds 1 (y ) dx 2  = +  或 2 2 ds = (dx) + (dy) x + dx dx o x y x M dy T  几何意义: ds = MT cos ; d d =  s x sin d d = s y 若曲线由参数方程表示:    = = ( ) ( ) y y t x x t 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、曲率及其计算公式 在光滑弧上自点M开始取弧段，其长为△s,对应切线 转角为△a,定义 弧段△s上的平均曲率 △s 点M处的曲率 K=lim △S0 注意：直线上任意点处的曲率为0」 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

二、曲率及其计算公式 在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为 s , 对应切线  , 定义 弧段 s 上的平均曲率 s K   =   M M s 点 M 处的曲率 s K s   =  →  0 lim ds d = 注意: 直线上任意点处的曲率为 0 ! 机动 目录 上页 下页 返回 结束 转角为

例1.求半径为R的圆上任意点处的曲率 解：如图所示， △s=R△a △ .=lim 1 △S→>0 R 可见R愈小，则K愈大，圆弧弯曲得愈厉害； R愈大，则K愈小，圆弧弯曲得愈小 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 . 解: 如图所示 , s = R s K s    =  →  0 lim R 1 = 可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ; R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .  s R M M  机动 目录 上页 下页 返回 结束

曲率K的计算公式 设曲线弧y=f(x)二阶可导，则由 ds am0=y(设-子<a<} 得 a arctan y' da-(aretan )d 1》 又ds=1+y2dx 故曲率计算公式为 K- (1+y2)3 当y<I时，有曲率近似计算公式K≈y” HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

当 y  1时, 有曲率近似计算公式 tan = y  ) 2 2 (    设 −   得  = arctan y  d = (arctan y )dx 故曲率计算公式为 s K d d = 2 3 (1 ) 2 y y K +   = K  y  又 曲率K 的计算公式 设曲线弧 y = f (x) 二阶可导, 则由 机动 目录 上页 下页 返回 结束

说明： x=x(t) (1)若曲线由参数方程 y=0) 给出，则 K=步-拉 (2+2)为 (2)若曲线方程为x=py),则 K=x” (1+x2)3 K=-y" (1+y2)3 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

说明: (1) 若曲线由参数方程    = = ( ) ( ) y y t x x t 给出, 则 2 3 (1 ) 2 y y K +   = (2) 若曲线方程为 x =(y), 则 2 3 (1 ) 2 x x K +   = 2 3 ( ) 2 2 x y xy xy K     + − = 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.抛物线y=x2+bx+c上哪一点处的曲率最大？ 解：由y=x2+x+c,得 y'=2ax+b,y"=2a, 2a .K [1+(2m+b] b 故x=-D时，k有最大值2d 2a 因此，抛物线在顶点处的曲率最大。 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例2. 抛物线 2 y ax bx c = + + 上哪一点处的曲率最大？ 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 2 由 y ax bx c = + + ,得 ( ) 3 2 2 2 1 2 a K ax b  =   + +   . 2 b x a a 故 = − 时，k有最大值 2 因此，抛物线在顶点处的曲率最大。 y ax b y a  = + = 2 , " 2

三、 曲率圆与曲率半径 D(a,B) 设M为曲线C上任一点，在点M处 作曲线的切线和法线，设M处曲率为K, 在曲线的凹向一侧法线上取点D使 M(x,y) DM=R K 把以D为中心，R为半径的圆叫做曲线在点M处的 曲率圆（密切圆），R叫做曲率半径，D叫做曲率中心 在点M处曲率圆与曲线有下列密切关系： (1)有公切线 (2)凹向一致 (3)曲率相同 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

三、 曲率圆与曲率半径 T y o x D( , ) R M (x, y) C 设 M 为曲线 C 上任一点 , 在点M 处 设M处曲率为K, K DM R 1 = = 把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的 曲率圆 ( 密切圆 ) , R 叫做曲率半径, D 叫做曲率中心. 在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系: (1) 有公切线; (2) 凹向一致; (3) 曲率相同 . 作曲线的切线和法线, 在曲线的凹向一侧法线上取点 D 使 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3、设工件内表面的截线为抛物线y=0.4x2 现在要用砂轮磨削其内表面。问用直径 多大的砂轮比较合适？ 解砂轮半径应不大于抛物线上各点处 曲率半径的最小值。因为抛物线在 其顶点曲率半径最小，因此，只需 求出顶点的曲率半径。 由y=0.8x y"=0.8 得y1=0y1=0.8 ∴.K= (1+y2房=0 8R=天-125 故用直径不超过1.25的砂轮比较合适 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例3、设 工件内表面的截线为抛物线 现在要用砂轮磨削其内表面。问用直径 多大的砂轮比较合适？ y x  = 0.8 砂轮半径应不大于抛物线上各点处 曲率半径的最小值。因为抛物线在 其顶点曲率半径最小，因此，只需 求出顶点的曲率半径。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 y x = 0.4y o x 2 y x = 0.4 解： 1 R 1.25 K = = y  = 0.8 0 0 x y =  = 0 0.8 x y =  = 由 得 3 2 2 (1 ) y K y   = +  = 0.8 故用直径不超过1.25的砂轮比较合适