《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第七章 微分方程_7-6 高价线性微分方程

第七节 第十二章 高阶线性微分方程解的猪构 一、二阶线性微分方程举例 二、线性齐次方程解的结构 三、线性非齐次方程解的结构 *四、常数变易法 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

机动 目录 上页 下页 返回 结束 高阶线性微分方程解的结构 第七节 二、线性齐次方程解的结构 三、线性非齐次方程解的结构 *四、常数变易法 一、二阶线性微分方程举例 第十二章

一、二阶线性微分方程举例 例1.质量为的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上， 当重力与弹性力抵消时，物体处于平衡状态，若用手向 下拉物体使它离开平衡位置后放开，物体在弹性力与阻 力作用下作往复运动，阻力的大小与运动速度/☑ 成正比，方向相反建立位移满足的微分方程 解：取平衡时物体的位置为坐标原点， 建立坐标系如图.设时刻t物位移为x() (1)自由振动情况.物体所受的力有： 弹性恢复力f=-cx (虎克定律 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

一、二阶线性微分方程举例 当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态, 例1. 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上, 力作用下作往复运动, x x o 解: 阻力的大小与运动速度 下拉物体使它离开平衡位置后放开, 若用手向 物体在弹性力与阻 取平衡时物体的位置为坐标原点, 建立坐标系如图. 设时刻 t 物位移为 x(t). (1) 自由振动情况. 弹性恢复力 物体所受的力有: (虎克定律) 成正比, 方向相反. 建立位移满足的微分方程. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

阻力 dx R=- 据牛顿第二定律得 m 2x dx -CX- dt 令2n=4,k2=C, 则得有阻尼自由振动方程 m dx+2n dx +k2x=0 t (2)强迫振动情况.若物体在运动过程中还受铅直外力 F=Hsin pt作用，令h=H,， 则得强迫振动方程 m d2x dx d? +2n+kx=hsin pt dt HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

据牛顿第二定律得 , 2 m c 2 , k = m n  令 = 则得有阻尼自由振动方程: 0 d d 2 d d 2 2 2 + + k x = t x n t x 阻力 (2) 强迫振动情况. 若物体在运动过程中还受铅直外力 F = H sin pt 作用，令 ， m h H = 则得强迫振动方程: k x h pt t x n t x sin d d 2 d d 2 2 2 + + = 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.设有一个电阻R,自感L,电容C和电源E串 联组成的电路，其中R,L,C为常数，E=E sin t, 求电容器两两极板间电压4所满足的微分方程 提示：设电路中电流为)，极板 R 上的电量为q),自感电动势为E2, 由电学知 i= da,uc= ，E=-1 根据回路电压定律 在闭合回路中，所有支路上的电压降为0 E-L di -Ri=0 dt C HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

求电容器两两极板间电压 0 d d − − − Ri = C q t i E L 例2. 联组成的电路, 其中R , L , C 为常数 , 所满足的微分方程 . uc 提示: 设电路中电流为 i(t), ∼~ ‖ L E R K C + q − q 上的电量为 q(t) , 自感电动势为 , i EL 由电学知 根据回路电压定律: 设有一个电阻 R , 自感L ,电容 C 和电源 E 串 极板 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0

化为关于u的方程注意i= dc,故有 dt d 72 d t 令B R 2 ,00=C 串联电路的振荡方程 duc +28 sin t d c+o24c= dt LO 如果电容器充电后撤去电源(E=0),则得 +2ng+-0 d 42 dt HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

L LC R 1 , 2 令  = 0 = t LC E u t u t u m C C C   sin d d 2 d d 2 2 0 2 + + = 串联电路的振荡方程: 如果电容器充电后撤去电源 ( E = 0 ) , 则得 0 d d 2 d d 2 2 0 2 + + C = C C u t u t u   ~ ‖ L E R K C + q − q i 2 2 d d t u LC C t u RC C d d + C + u E t = m sin 机动 目录 上页 下页 返回 结束 化为关于 uc 的方程: 故有

例1 例2 方程的共性一可归结为同一形式 y”+p(x)y+q(x)y=f(x),为二阶线性微分方程 n阶线性微分方程的一般形式为 ym）+a1(x)ym-l）++an-1(x)y'+an(x)y=f(x) 「f(x)丰0时，称为非齐次方程； f(x)≡0时，称为齐次方程 复习：一阶线性方程y+P(x)y=Q(x) 通解y=Ce-JP@dx+eP(a[O(dx 齐次方程通解Y 非齐次方程特解y HIGH EDUCATION PRESS Oe0C0-8 机动目录上页下页返回结束

n 阶线性微分方程的一般形式为 方程的共性 为二阶线性微分方程. 例1 例2 y  + p(x) y  + q(x) y = f (x), — 可归结为同一形式: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( 1) 1 ( ) y a x y a x y a x y f x n n n n + + + −  + = −  时, 称为非齐次方程 ; f (x)  0 时, 称为齐次方程. 复习: 一阶线性方程 y  + P(x) y = Q(x) 通解:    − + e Q x e x P x x P x x ( ) d ( )d ( )d  − = P x x y C e ( )d 齐次方程通解Y 非齐次方程特解  y f (x)  0 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、线性齐次方程解的结构 定理1，若函数(x),y2(x)是二阶线性齐次方程 y"+P(x)y'+Q(x)y=0 的两个解，则y=C(x)+C2y2(x)(C1,C2为任意常数) 也是该方程的解.（叠加原理） 证：将y=C(x)+C2y2(x)代入方程左边，得 [C1y”+C22]+P(x[C1+C2y2] +2(x)[C1+C2y21 =Ci[yi+P(x)y+(x)y +C2[3+P(x)y2+Q(x)y2]=0证毕 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

( )[ ] + P x C1 y1  + ( )[ ] + Q x C1 y1 + = 0 证毕 二、线性齐次方程解的结构 ( ), ( ) 1 2 若函数 y x y x 是二阶线性齐次方程 y  + P(x) y  + Q(x) y = 0 的两个解, 也是该方程的解. 证: ( ) ( ) 1 1 2 2 将 y = C y x + C y x 代入方程左边, 得 [ ] C1 y1  + 2 2 C y  2 2 C y  2 2 C y [ ( ) ( ) ] 1 1 1 1 = C y  + P x y  + Q x y [ ( ) ( ) ] 2 2 2 2 + C y  + P x y  + Q x y (叠加原理) ( ) ( ) 1 1 2 2 则 y = C y x + C y x 定理1. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

说明： y=C1y(x)+C2y2(x)不一定是所给二阶方程的通解 例如，y(x)是某二阶齐次方程的解，则 y2(x)=2y(x)也是齐次方程的解 但是 C1(x)+C2y2(x)=(C1+2C2)y(x) 并不是通解 为解决通解的判别问题，下面引入函数的线性相关与 线性无关概念 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

说明: 不一定是所给二阶方程的通解. 例如, 是某二阶齐次方程的解, 也是齐次方程的解 并不是通解 但是 ( ) ( ) 1 1 2 2 y = C y x + C y x 则 为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定义：设y1(x),y2(x),ym(x)是定义在区间1上的 n个函数，若存在不全为0的常数k1,k2,.,kn,使得 k1y1(x)+k2y2(x)++knyn(x)≡0，x∈I 则称这个函数在I上线性相关，否则称为线性无关 例如，1，cos2x,sin2x,在(-o,+∞)上都有 1-cos2x-sin2x=0 故它们在任何区间1上都线性相关， 又如，1，x,x2,若在某区间1上k1+飞2x+k3x2≡0， 则根据二次多项式至多只有两个零点，可见1，k2,k? 必需全为0，故1，x,x2在任何区间1上都线性无关 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

定义: ( ), ( ), , ( ) 1 2 y x y x y x 设  n 是定义在区间 I 上的 n 个函数, 使得 则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关. 例如， 在(− , + )上都有 故它们在任何区间 I 上都线性相关; 又如， 若在某区间 I 上 则根据二次多项式至多只有两个零点 , 必需全为 0 , 可见 在任何区间 I 上都 线性无关. 若存在不全为 0 的常数 机动 目录 上页 下页 返回 结束

两个函数在区☒间I上线性相关与线性无关的充要条件： 片(x),y2(x)线性相关二存在不全为0的k1,k2使 k(x)+k2y2(x)=0 (x)= k2 (无妨设 y2(x) k≠0) 1(x),y2(x)线性无关 (x) 2(x) 圭常数 思考：若1(x),y2(x)中有一个恒为0，则(x),y2(x) 必线性相关 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件: 线性相关 存在不全为 0 的 使 1 2 2 1 ( ) ( ) k k y x y x  − ( 无妨设 0 ) k1  线性无关 ( ) ( ) 2 1 y x y x 常数 思考: 中有一个恒为 0, 则 必线性 相关 机动 目录 上页 下页 返回 结束