《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第一章函数与极限_第六节极限存在准则、两个重要极限

第六节极限存在准则两个重要极限 一、准则1第一重要极限 二、准则Ⅲ第二重要极限 *三、柯西极限存在准则 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第六节 极限存在准则 两个重要极限 一、准则I 第一重要极限 二、准则II 第二重要极限 *三、柯西极限存在准则

第六节极限存在准则两个重要极限 一、准则1第一重要极限 准则I如果数列{xn}、{yn}及{zn}满足下列条件 (I)从某项起，即3no∈N,当n>n时，有 yn≤rn≤zn, 2) limy=a,limz=a, 1n-→o0 那么数列{xn}的极限存在，且limx,=a. 1n->0 证明 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第六节 极限存在准则 两个重要极限 一、准则I 第一重要极限 准则I 如果数列 { xn }、{ yn } 及 { zn } 满足下列条件 (1) 从某项起，即  n0  N，当 n > n0 时，有 (2) , lim yn a n = → yn  xn  zn ， , lim zn a n = → 那么数列 { xn } 的极限存在，且 . lim x a n n = → 第六节 极限存在准则 两个重要极限 证明 (1) 当 n > n0 时， (2) , limyn a n = → yn  xn  zn ， , limzn a n = → . limxn a n = → y a n n = → lim  >0, N1 , 当 n > N1 时, 有 | yn – a | 0, N2 , 当 n > N2 时, 有 | zn – a | n0 时，yn  xn  zn ， 取 N = max{ n0 , N1 , N2 }，则当n > N 时上述3个不等式 同时成立，从而有 yn  xn  z a –  < n < a +  , 即 | xn – a | <  . . limxn a n  = → 证毕

第六节极限存在准则两个重要极限 准则可以推广到函数的情形. 准则如果 1)当x∈J(xor) y4y=1 (或|x|>0时，8c)≤fx)≤h(x), sin x ys x (2)limg(x)=4,lim h(x)=4, =COSX X→x0 x→X0 (x→00)） (x→00) 那么limf(x)存在，且等A. x→x0 (x-→00) 准则及准则称为夹逼准则： 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第六节 极限存在准则 两个重要极限 x y O 1 y =1 x x y sin = y = cos x 准则I可以推广到函数的情形. 准则I ' 如果 (1) 当 ( , ) 0 x U x r   (或 | x | > M)时，g(x)  f(x)  h(x) ， (2) ( ) , lim ( ) 0 g x A x x x = → → ( ) , lim ( ) 0 h x A x x x = → → 那么 ( ) lim ( ) 0 f x x x x → → 存在，且等 A . 准则I及准则I'称为夹逼准则

第六节极限存在准则两个重要极限 第一重要极限 sin x lim x→>0 X 证明之 B tanx six X COSX 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第六节 极限存在准则 两个重要极限 第一重要极限 1. sin lim 0 = → x x x 第六节 极限存在准则 两个重要极限 O C A B D 1 sinx cosx tanx x x y 证明 右图中的圆为单位圆 AD 为切线，圆心角为 x ，且 , 2 π 0  x  BC ⊥ OA . 因为 , SAOB  S 扇形AOB  SAOD sin , 2 1 S x AOB = , 2 1 S x AOB 扇形 = tan , 2 1 S x 而 AOD = 所以 tan , 2 1 2 1 sin 2 1 x  x  x sin x  x  tan x , 1. sin cos   x x x O C A B D 1 sin x cos x tan x x x y

第六节极限存在准则两个重要极限 函数y=sn的图形如下： X sin x 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第六节 极限存在准则 两个重要极限 函数 x x y sin = 的图形如下： x x y sin = 1 x y O

第六节极限存在准则两个重要极限 例1求lim tan x )0 解 lim sin =1 例2求lim 1-cosx x>0 0 解 例3求lim arcsin x 代表相同的表达式 x-0 x 解 例5求limxsin名 例4求lim sin 3x x->0 sin 7x 解 解d 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第六节 极限存在准则 两个重要极限 例1 求 . tan lim 0 x x x→ 第六节 极限存在准则 两个重要极限 解 例1 求 . tan lim 0 x x x→ x x x tan lim →0       =  → x x x x cos sin 1 lim 0 x x x x x cos sin 1 lim →0 lim →0 =  =1. x y x x y tan = 例2 求 . 1 cos 2 0 lim x x x − → 第六节 极限存在准则 两个重要极限 2 1 cos x x y − = x y 解 2 0 1 cos lim x x x − → 2 2 0 2 2sin lim x x x→ = 2 2 0 2 2 sin 2 1 lim       = → x x x 例2 求 . 1 cos 2 0 lim x x x − → 2 0 2 2 sin 2 1 lim             = → x x x . 2 1 = 例3 求 . arcsin lim 0 x x x→ 第六节 极限存在准则 两个重要极限 解 x x x arcsin lim →0 t t t sin lim →0 = =1. 例3 求 . arcsin lim 0 x x x→ 令 t = arcsin x，则 x = sin t，当 x→0 时，有t→0 , 于是由复合函数的极限运算法则得 x y x x y arcsin = 例4 求 . sin 7 sin 3 lim 0 x x x→ 第六节 极限存在准则 两个重要极限 解 例4 求 . sin 7 sin 3 lim 0 x x x→ x x x sin 7 sin 3 lim →0 x x x x x 7 sin 7 7 3 sin 3 3 lim 0   = → x x x x x x 7 sin 7 3 sin 3 7 3 lim lim 0 0 → → =  . 7 3 = 1 sin lim 0 = → 代表相同的表达式 例5 求 . 2 sin lim x x x→ 第六节 极限存在准则 两个重要极限 解 例5 求 . 2 sin lim x x x→ x x x 2 sin lim → x x x 2 2 sin 2lim→ = x x x 2 2 sin 2lim 0 2 → = = 2

第六节极限存在准则两个重要极限 例6设；≥0(i=1,2,.,m,A=max{a1,2,m, 证明 lima"+a2+.+am=4 证明白 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第六节 极限存在准则 两个重要极限 例6 设 ai  0 (i =1, 2, . , m), A= max{a1 ,a2 ,., am}, 第六节 极限存在准则 两个重要极限 证明 例6 设 ai  0 (i =1, 2, . , m), A= max{a1 ,a2 ,., a m}, 证明 . limn a1 a2 a A n m n n n + + + = →  因为 n m n n  a1 + a2 ++ a n A n n n  A + A ++ A , n  mA 所以 . 1 1 2 n n n m n n A  a + a ++ a  Am 而 n n m 1 lim → m n n e  → = 1 lim 1, 0 = = m e 故由夹逼准则I得 . limn a1 a2 a A n m n n n + + + = →  证明 . limn a1 a2 a A n m n n n + + + = → 

第六节极限存在准则两个重要极限 二、准则Ⅱ第二重要极限 数列的单调性 如果数列{xm}满足条件 X1≤x2≤.≤xn≤xn+1≤.， 则称数列{x}是单调增加的；如果数列{x,}满足条件 X1≥X2≥.≥n≥X+1≥.) 则称数列{xn}是单调减少的.单调增加和单调减少的 的数列统称为单调数列 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第六节 极限存在准则 两个重要极限 二、准则II 第二重要极限 数列的单调性 如果数列 { xn } 满足条件 x1  x2  .  xn  xn+1  . , 则称数列 { xn } 是单调增加的；如果数列 { xn } 满足条件 x1  x2  .  xn  xn+1  . , 则称数列 { xn } 是单调减少的. 单调增加和单调减少的 的数列统称为单调数列

第六节极限存在准则两个重要极限 例如，数列x,=” 是单调增加的，其几何意义如 n+1 下图所示. 从图中可以看出，一般项xn随n的增大而增大，但 不论项xn如何增大，总有xm<1.而我们已知道该数 的极限存在，且为1. 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第六节 极限存在准则 两个重要极限 例如，数列 +1 = n n xn 是单调增加的，其几何意义如 下图所示. 从图中可以看出，一般项 xn 随 n 的增大而增大，但 不论项 xn 如何增大，总有 xn < 1 . 而我们已知道该数 的极限存在，且为 1

第六节极限存在准则两个重要极限 又如，数列，=1+是单调减少的，其几何意义如 下图所示. 从图中可以看出，一般项x随n的增大而减小，但 不论项x如何减小，总有xn>1.而我们已知道该数 的极限存在，且为1. 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第六节 极限存在准则 两个重要极限 又如，数列 n n x 2 1 =1+ 是单调减少的，其几何意义如 下图所示. 从图中可以看出，一般项 xn 随 n 的增大而减小，但 不论项 xn 如何减小，总有 xn > 1 . 而我们已知道该数 的极限存在，且为 1