《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第三章微分中值定理与导数的应用_第六节函数图形的描绘

第六节函数图形的描绘 一、渐近线 二、绘图步骤 三、举例 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第六节 函数图形的描绘 一、渐近线 三、举例 二、绘图步骤

第六节函数图形的描绘 一、渐近线 1.定义 定义若曲线C上的点M沿着曲线无限地远离原点 时，点M与某一直线L的距离趋于0，则称直线L为 曲线C的渐近线. 水平渐近线 渐近线 垂直渐近线 M P 斜渐近线 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第六节 函数图形的描绘 一、渐近线 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 定义 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点 时, 则称直线 L 为 曲线C 的渐近线. 1. 定义 渐近线 水平渐近线 垂直渐近线 斜渐近线 M L C N P x x y O

第六节函数图形的描绘 2.水平渐近线与垂直渐近线 若1imf(x)=b或limf(x)=b或limf(x)=b, X-00 X>+00 则y=b为曲线y=fx)的水平渐近线 f(x)=e"+1 f(x)=e *+1 x 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第六节 函数图形的描绘 2. 水平渐近线与垂直渐近线 若 f x b x = → ( ) lim 或 f x b x = →− ( ) lim 或 ( ) , lim f x b x = →+ 则 y = b 为曲线 y = f (x) 的水平渐近线. ( ) = e +1 x f x 1 y O x ( ) = e +1 −x f x 1 y O x

第六节函数图形的描绘 若limf(x)=oo或limf(x)=o或limf(x)=o, x→x0 则x=xo为曲线y=f(心)的垂直渐近线 f(x)=In(1+x) f(x) x-1 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第六节 函数图形的描绘 若 =  → ( ) lim 0 f x x x 或 =  → − ( ) lim 0 f x x x 或 ( ) , lim 0 =  → + f x x x 则 x = x0 为曲线 y = f (x) 的垂直渐近线. f (x) = ln(1+ x) -1 y O x 1 1 1 ( ) + − = x f x y 1 x 1 O

第六节函数图形的描绘 3.斜渐近线 设曲线C的方程为y=f(x), 直线L的方程为y=ax+b(a≠O) 则直线L是曲线C的斜渐近线的 的充要条件为 lim MN =0lim NP=0lim[f(x)-(ax+)]=0 X>00 X→00 →=lm型，-lml-m x->00 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第六节 函数图形的描绘 3. 斜渐近线 设曲线 C 的方程为 y = f (x) , 直线 L 的方程为 y = ax +b (a  0). 则直线 L 是曲线 C 的斜渐近线的 的充要条件为 0 lim = → MN x 0 lim = → NP x [ ( ) ( )] 0 lim − + = → f x ax b x , ( ) lim x f x a x→ = [ ( ) ]. b lim f x ax x = − → M L C N P x x y O

第六节函数图形的描绘 当直线y=心+b是曲线y=fx)的斜渐近线时，有 f(x)=x+b+0(1)(x→0,0(1)表示无穷小)， 于是当x充分大时，有近似公式 f(x)≈x+b. 实际上这也正是研究曲线渐近线的本意之一.同时也为 在某些问题中求渐近线提供了一种方法. 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第六节 函数图形的描绘 当直线 y = ax + b 是曲线 y = f (x) 的斜渐近线时，有 f (x) = ax + b + o(1) (x→ , o(1) 表示无穷小). 于是当| x | 充分大时，有近似公式 f (x)  ax + b . 实际上这也正是研究曲线渐近线的本意之一. 同时也为 在某些问题中求渐近线提供了一种方法

第六节函数图形的描绘 例1求曲线f(x)= X x2-x-2 的渐近线. 解 f(x)= x2-x-2 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第六节 第六节 函数图形的描绘 函数图形的描绘 解 例1 求曲线 2 ( ) 2 3 − − = x x x f x 的渐近线. . ( 2)( 1) ( ) 3 − + = x x x f x 因为 ( ) , lim =  → f x x 所以没有水平渐近线. 因为 ( ) , ( ) , lim 1 lim 2 =  =  →− → f x f x x x 所以有两条垂直渐近线：x = -1 和 x = 2 . 又因为 x f x a x ( ) lim → = 1, 2 2 2 lim = − − = → x x x x 例1 求曲线 2 ( ) 2 3 − − = x x x f x 的渐近线. 2 ( ) 2 3 − − = x x x f x 2 -1 x y O

第六节函数图形的描绘 。 例2求曲线f(x)=x23smn+cos-1 的斜渐近 X X 线，并求f(100)的近似值 解 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第六节 第六节 函数图形的描绘 函数图形的描绘 解 例2 求曲线       = + −1 1 cos 1 ( ) 3sin 2 x x f x x 的斜渐近 线，并求 f (100) 的近似值. 利用 sin t , cos t 的带佩亚诺余项的泰勒公式，有       −            + − +             = + 1 1 2 1 1 1 1 ( ) 3 2 2 3 2 x o x x o x f x x             = − +2 2 2 1 2 3 1 x o x x x (1) . 2 1 = 3x − + o 所以斜渐近线为 . 2 1 y = 3x − 例2 求曲线       = + −1 1 cos 1 ( ) 3sin 2 x x f x x 的斜渐近 线，并求 f (100) 的近似值. x y       = + −1 1 cos 1 ( ) 3sin 2 x x f x x O

第六节函数图形的描绘 二、绘图步骤 Step1确定函数y=f(x)的定义域及某些几何特性 (如奇偶性、周期性)，求出f'x)和f"(c); Step2求出f'x)和f"x)在函数定义域内的全部零 点及它们不存在的点，并用它们把定义域分成几个部 分区间； Step3确定在这些部分区间内f'x)和f"x)的符号， 并由此确定函数图形的升降和凹凸，极值与拐点； 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第六节 函数图形的描绘 二、绘图步骤 Step1 确定函数 y = f (x) 的定义域及某些几何特性 (如奇偶性、周期性)，求出 f (x) 和 f (x) ； Step2 求出 f (x) 和 f (x) 在函数定义域内的全部零 点及它们不存在的点， 并用它们把定义域分成几个部 分区间； Step3 确定在这些部分区间内 f (x) 和 f (x) 的符号, 并由此确定函数图形的升降和凹凸，极值与拐点；

第六节函数图形的描绘 Step4确定函数图形的水平、铅直及斜渐近线； Step5确定函数极值点、拐点在图形上的位置，必 要时再在图形上补作几个点，然后结合Step1、Step2 中得到的结果，联结这些点画出图形. 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第六节 函数图形的描绘 Step4 确定函数图形的水平、铅直及斜渐近线； Step5 确定函数极值点、拐点在图形上的位置，必 要时再在图形上补作几个点， 然后结合Step1、Step2 中得到的结果，联结这些点画出图形