《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第五章定积分_D5_习题课

习级课 第五章 定积分及其相关问题 与定积分概念有关的问题的解法 二、有关定积分计算和证明的方法 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

习题课 一、与定积分概念有关的问题的解法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、有关定积分计算和证明的方法 定积分及其相关问题 第五章

与定积分概念有关的问题的解法 1.用定积分概念与性质求极限 2.用定积分性质估值 3.与变限积分有关的问题 例1.求1im n->+ex 解： 因为x∈[0,1]时，0≤ ≤x”,所以 n+1 利用夹逼准则得 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

一、与定积分概念有关的问题的解法 1. 用定积分概念与性质求极限 2. 用定积分性质估值 3. 与变限积分有关的问题 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 求 d . 1 lim 1 0 x e x e x n x n  → + 解: 因为 时, x n x e x e +  1 0 所以 x e x e x n x d 1 1 0  + 0  x x n d 1 0   1 1 + = n 利用夹逼准则得 d 0 1 lim 1 0 = +  → x e x e x n x n , n  x

说明： 1)思考例1下列做法对吗？ 利用积分中值定理 原式=lim n-→o1+e9 不对！【 因为5依赖于n,且0≤5≤1. 2)此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项 如，P265题4 1-xP≤ ≤1 (0≤x≤1) +x +xP HIGH EDUCATION PRESS 0C08 机动目录上页下页返回结束

因为 依赖于 且 1) 思考例1下列做法对吗 ? 利用积分中值定理 原式 不对 !  n, 0   1. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 2) 此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项 . p 1+ x 1 p p x x + = − 1 −  1 1 (0  x 1) p 1 x 如, P265 题4

2π sinsin sin na 例2.求I=1im n n n (考研98) n+1 n+ 解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和： n+1 n π.1凸sin n 、k1 n k=1 n k=1 nn 已知 kπ1 2 lim sin·=sinxdx= lim- nn k=1 n→∞n+1 利用夹逼准则可知1= HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和：  +   = n k k n k n 1 1 sin  已知 , 2 sin d 1 lim sin 1 1 0     = =   = → x x n n k n k n 利用夹逼准则可知 . 2  I =  =  + n k n n k n n 1 1 sin 1   =  n k n n k 1 1 sin  (考研98 ) 1 1 lim = → n + n n 例2. 求 机动 目录 上页 下页 返回 结束

思考：J=1im Sin 2i Sin na Sin (n+1)z n+.十 n n n+ n+1 n n+ n+1 提示由上题 2π sin sin Sin na 2 l= lim n 1n+ n+ n+ n π Sin z sin (n+1)m 故J=1-lim +lim n nxoon+l n-oo n+ n+1 2-0+0= 2 π HIGH EDUCATION PRESS e0C①8 机动目录上页下页返回结束

思考: 提示:由上题 1 sin lim + = − → n J I n n  1 1 ( 1) sin + + + + n n n n  1 1 ( 1) sin lim + + → + + n n n n n   2 =  2 − 0 + 0 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故

练习1.家极限2*.n 据：威==31-月 on 2.求极限lim( n->0 n+1n+ n+I n立2s原武≤m于2 提示：lim 左边=lim 22d2右边 n-→∞n+1 In 2 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

练习: 1.求极限 ). 1 2 lim ( 2 2 2 2 2 n n n n n n n n + + + + + → +  解：原式 n n 1 lim → =  = + n i n i 1 2 1 ( ) 1 x x d 1 1 1 0 2 + = 4  = 2. 求极限 ). 2 2 1 2 lim ( 1 2 1 1 2 n n n n n n n n n + + + + + → +  提示： 原式 n n 1 lim →   = n i n i 1 2 1 lim + = → n n n  = n i n i 1 2 x x 2 d 1 0  = 1 1 lim n→ n +   = n i n i 1 2 左边 = 右边 机动 目录 上页 下页 返回 结束

那计下列积盼恒4-> 解因为454-+J4- x∈[0,1] 4血 即 2到64-s8 HIGH EDUCATION PRESS e0C08 机动目录上页下页返回结束

例3. 估计下列积分值 解: 因为  4 1 , 4 1 2 − x  ∴   dx 2 11 0 x x d 4 1 1 0 2 −  即  2 1 6   机动 目录 上页 下页 返回 结束

例.证明2 dxs2e 证：令f(x)=e-x,则f'(x)=(2x-1e-n 令()=0，得x=2 7o=1,f0=e=e maxf(x)=e2 [0,2] [0,2] 故 dxs2e HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例4. 证明 证: 令 则 令 得 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例5.设f(x)在[0,1]上是单调递减的连续函数试证 明对于任何qe[0,1]都有不等式 fdxzqfifdx 证明：显然q=0,q=1时结论成立当0<q<1时 ∫&fx)dx-gf(x)dx =1-9j8/()dx-9,fdx (用积分中值定理) =(1-q)9f(5)-q(1-q)f(52) 51∈[0，q] 52∈[q,1] =q(1-q)儿f(5)-f(52)]≥0 故所给不等式成立 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例5. 设 在 上是单调递减的连续函数，试证 q0,1 都有不等式 证明：显然 q = 0,q =1 时结论成立. (用积分中值定理) ( ) 1 q  f (1 ) ( )  2  − q  f 当 0  q 1 时, 故所给不等式成立 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 明对于任何

例6.己知f(x)在x>0处连续，f()=3,且由方程 ["foat=xfod:+yd 确定y是x的函数，求f(x) 解：方程两端对x求导，得 f(xy)(v+xy)=[f(t)dt+xf) +y∫f0)d+yf(x) 令x=1,得f)y=∫f)d1+yf四 再对y求导，得/)=/0=子→0W=3ny+C 令y=1,得C=3,故f(x)=31nx+3 等HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例6. 解： 且由方程 确定 y 是 x 的函数 , 求 方程两端对 x 求导, 得 令 x = 1, 得 再对 y 求导, 得 令 y =1, 得C = 3, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故