《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第七章微分方程_第九节欧拉方程

第九节欧拉方程 一、定义 二、解法 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

*第九节 欧拉方程 一、定义 二、解法

第九节欧拉方程 一、 定义 定义形如 x"ym+px"y-)+.+卫n-12y+pny=f(x) 的方程（其中p1,P2,.,Pm为常数）称为欧拉方程 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

*第九节 欧拉方程 一、定义 定义 形如 的方程(其中 p1 , p2 , . , pn为常数)称为欧拉方程. ( ) 1 1 ( 1) 1 ( ) x y p x y p xy p y f x n n n n n n + + + − + = − − 

第九节欧拉方程 x"y+px"y(+.+pxy'+py=f(x) 二、解法 作变换x=e,! 则 dydy dt 1dy dx dt dx x dt 10 类似地可得 d2y d2y dy dt2 dt d3y 1 d dy +2 dx3 x3 dt3 dt 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

*第九节 欧拉方程 二、解法 作变换 x = et , ( ) 1 1 ( 1) 1 ( ) x y p x y p xy p y f x n n n n n n + + + − + = − −  则 类似地可得

第九节欧拉方程 如果采用记号D表示对：求导的运算， 那么上述 计算结果可以写成 dy Idy dx x dt ,〉xy=Dy, =DD-1)y, 1 +2 x3y"=(D3-3D2+2D)y t =DD-1)D-2)y, 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

*第九节 欧拉方程 如果采用记号 D 表示对 t 求导的运算 那么上述 计算结果可以写成

第九节欧拉方程 一般地，有 xy=D(D-1).(D-k+1)y. 把它代入欧拉方程，便得一个以t为自变量的常系数线 性微分方程.在求出解后，把t换成nx即可得到原方 程的解。 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

*第九节 欧拉方程 一般地，有 把它代入欧拉方程，便得一个以 t 为自变量的常系数线 性微分方程. 在求出解后，把 t 换成 ln x 即可得到原方 程的解

第九节欧拉方程 例1求方程x2y"-2y'+2y=h2x-2hx的通解. 解 2求方程-+是 的通解 解 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

*第九节 欧拉方程 例1 求方程 的通解. *第九节 欧拉方程 解 例1 求方程 x y 2xy 2y ln x 2ln x 2 2  −  + = − 作变换 x = et ，则原方程化为 D(D 1) 2D 2 2 , 2 − y − y + y = t − t 亦即 2 2 . d d 3 d d 2 2 2 y t t t y t y − + = − 特征根为 r1 = 1 , r2 = 2, 则对应的齐次方程的通解为 特征方程为 r 2 – 3r + 2 = 0 , (D 3D 2) 2 , 2 2 − + y = t − t e e . 2 1 2 t t Y = C +C 的通解. 即 例2 求方程 的通解. *第九节 欧拉方程 解 例2 求方程 x x y x y y 2 2 + =   − 将方程化为 2 . 2 x y  − x y  + y = x 令 x = et ，则方程化为 [D(D 1) D 1)] 2e , t − − + y = 即 t (D 2D 1) y 2e 2 − + = 特征根为 1, r1 = r2 = 设特解: e , 2 t y = At 代入解得 A = 1, t t y (C C t ) e t e 2 = 1 + 2 + ( ln ) ln . 2 1 2 = C +C x x + x x 所求通解为 的通解. 2e . d d 2 d d 2 2 t y t y t y − + =