《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第六章定积分的应用_第二节定积分在几何学上的应用

第二节定积分在几何上的应用 一、平面图形的面积 二、体积 三、平面曲线的弧长 上页 下页 返回 MathS 公式 线与面 数学家

第二节 定积分在几何上的应用 一、平面图形的面积 二、体积 三、平面曲线的弧长

第二节定积分在几何上的应用 一、平面图形的面积 1.直角坐标情形 在直角坐标系下，积分变量一般 y=02(x) 取x或y.取x为积分变量时， 面积元素为小竖条，其面积可用如 图所示的小矩形近似： =0(x) dA=(x)-e(x)]dx,o a b 衣 故面积为 x+Ax A=[o,(x)-,(xdx 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第二节 定积分在几何上的应用 一、平面图形的面积 1. 直角坐标情形 在直角坐标系下，积分变量一般 取 x 或 y . 取 x 为积分变量时， 面积元素为小竖条，其面积可用如 图所示的小矩形近似： d [ ( ) ( )]d , 2 1 A=  x − x x 故面积为 [ ( ) ( )]d . =  2 − 1 b a A  x  x x x y O a b ( ) 1 y = x ( ) 2 y = x x x+x

第二节定积分在几何上的应用 取y为积分变量时，面积元素为小横条，其面积可 用如图所示的小矩形近似： d4=[W(y)-W(y)]dv, x=v(y)x=v2(y) d 故面积为 Jy+△y A=[[vz(y)-wi(y)]dy 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第二节 定积分在几何上的应用 取 y 为积分变量时，面积元素为小横条， 用如图所示的小矩形近似： d [ ( ) ( )]d , 2 1 A=  y − y y 故面积为 [ ( ) ( )]d . =  2 − 1 d c A  y  y y 其面积可 O x y c d ( ) 1 x = y ( ) 2 x = y y y+y

第二节定积分在几何上的应用 例1计算由两条抛物线：y2=x、y=x2所围成的图 形的面积. 解 y=x2 y+△y y xx+Ax 1 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第二节 定积分在几何上的应用 例1 计算由两条抛物线：y 2 = x、y = x 2 所围成的图 第二节 定积分在几何上的应用 解 例1 计算由两条抛物线：y 2 = x、y = x 2 所围成的图 形的面积. 先选 x 为积分变量，其 变化范围为 [0 , 1]，此时微元为 小竖条，如图所示. 面积元素为 d ( )d . 2 A = x − x x 所求面积为  = − 1 0 2 A ( x x )dx 1 0 2 3 3 3 1 3 2       = x − x . 3 1 = y 2 = x y = x 2 x y O 1 x x+x 形的面积. y 2 = x y = x 2 x y O 1 x x+x y 2 = x y = x 2 x y O 1 y y+y

第二节定积分在几何上的应用 例2计算抛物线：y2=2x与直线y=x-4所围成的 图形的面积 解己 1 19 y2=2x Ψ8,4) y2=2x Ψ8,4) y=x-4 )=X-4 x x 2,-2 (2,-2 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第二节 定积分在几何上的应用 y 2 = 2x y = x – 4 x y O (2,-2) (8,4) 例2 计算抛物线：y 2 = 2x 与直线 y = x – 4 所围成的 第二节 定积分在几何上的应用 y 2 = 2x y = x – 4 x y O (2,-2) (8,4) 解 例2 计算抛物线：y 2 = 2x 与直线 y = x – 4 所围成的 图形的面积. 解方程组    = − = 4 2 2 y x y x 得抛物线和直线的交点为 (2 , -2) 和 (8 , 4) . 选 y 为积分变量，则面积元素为 d , 2 1 d 4 2 A y y  y      = + − 图形的面积. y 2 = 2x y = x – 4 x y O (2,-2) (8,4)

第二节定积分在几何上的应用 例3求椭圆 a2+b2 =1所围成的图形的面积， 解 3 b31 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第二节 定积分在几何上的应用 例3 求椭圆 第二节 定积分在几何上的应用 x y O 1 2 2 2 2 + = b y a x 解 例3 求椭圆 1 所围成的图形的面积. 2 2 2 2 + = b y a x 选 x 为积分变量， 利用对称性，面积元素为 dA = ydx , 所求面积为 4 d . 0 = a A y x 利用椭圆的参数方程            = = 2 π 0 sin , cos , t y b t x a t 计算该定积分， 1 所围成的图形的面积. 2 2 2 2 + = b y a x x y O 1 2 2 2 2 + = b y a x

第二节定积分在几何上的应用 例4计算摆线 x=a(t-sin t), (a>0)的一拱与x轴所 y=a(1-cost), 围成的图形的面积。 解 y x=a(t-sin t) y=a(1-cost) 2元0X 摆线动画 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第二节 定积分在几何上的应用 x y O 2a    = − = − (1 cos ) ( sin ) y a t x a t t 例4 计算摆线 第二节 定积分在几何上的应用 围成的图形的面积. 解 例4 计算摆线 ( 0) 的一拱与 x 轴所 (1 cos ), ( sin ),     = − = − a y a t x a t t 所求面积为  = a A y x 2π 0 d  = − − a a t a t t 2π 0 (1 cos )d[ ( sin )]  = − 2π 0 2 2 a (1 cost) dt 3π . 2 = a x y O 2a    = − = − (1 cos ) ( sin ) y a t x a t t ( 0) 的一拱与 x 轴所 (1 cos ), ( sin ),     = − = − a y a t x a t t 围成的图形的面积. 摆线动画

第二节定积分在几何上的应用 例5计算星形线r+y=a(a>0)所围成的图形的 2 面积. 2 2 解 +y3 a3 星形线动画 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第二节 定积分在几何上的应用 例5 计算星形线 第二节 定积分在几何上的应用 3 2 3 2 3 2 x + y = a -a a -a a x y O 解 例5 计算星形线 3 ( 0) 所围成的图形的 2 3 2 3 2 x + y = a a  面积. 星形线的参数方程为 (0 2π). sin , cos , 3 3      = = t y a t x a t 由对称性可得  = a A y x 0 4 d  = 0 2 π 3 3 4 asin td(a cos t)  = 2 π 0 2 4 2 4a sin t cos tdt  = − 2 π 0 2 4 6 4a (sin t sin t)dt π . 8 3 2 = a 3 ( 0) 所围成的图形的 2 3 2 3 2 x + y = a a  面积. 第二节 定积分在几何上的应用 星形线动画 星形线是内摆线的一种 3 2 3 2 3 2 x + y = a -a a -a a x y O

第二节定积分在几何上的应用 2.极坐标情形 设p(0)eCL,B],p(0)≥0，求由曲线p=p(0)及 射线0=a,0=B围成的曲边扇形的面积. 在区间[a,B]上任取小区间[0,0+d0],则对应小区 间上曲边扇形面积的近似值为 =p(0) dA-d0. do 所求曲边扇形的面积为 4-Jdo 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第二节 定积分在几何上的应用 2. 极坐标情形 求由曲线  = ( ) 及 射线  =  ,  =  围成的曲边扇形的面积 .  =()   d 在区间[ ,  ]上任取小区间 间上曲边扇形面积的近似值为  ( ) d , 2 1 d 2 A =    所求曲边扇形的面积为 ( )d . 2 1 2      A =  O x 设 ( )C[ ,  ] , ( )  0 , 则对应小区

第二节定积分在几何上的应用 例6计算阿基米德螺线p=a0(a>0)上相应于0从 0变到2元的一段弧与极轴所围成的图形的面积. 解 2元0 p=0 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第二节 定积分在几何上的应用 例6 计算阿基米德螺线  = a (a > 0)上相应于 从 第二节 定积分在几何上的应用 解 例6 计算阿基米德螺线  = a (a > 0)上相应于  从 0 变到 2 的一段弧与极轴所围成的图形的面积. 由极坐标系下的面积公式，得      ( )d 2 1 2  A = (  ) d 2 1 2π 0 2  = a π . 3 4 2 3 = a  = a 2a O x y 0 变到 2 的一段弧与极轴所围成的图形的面积.  = a 2a O x y