《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第五章定积分_第四节反常积分

第四节反常积分 一、无穷限的反常积分 二、无界函数的反常积分 上顷下页返回的公式线与通数学家

第四节 反常积分 一、无穷限的反常积分 二、无界函数的反常积分

第四节反常积分 一、无穷限的反常积分 1.定义 定义1设函数fx)在区间[a,+oo)上连续，取t>, 如果极限1if(x)d存在，则称此极限为函数fw) 在无穷区间[a,+o)上的反常积分，记作f(x)dx,即 f(d-lim[fd t+00 此时也称反常积分收敛，如果极限不存在，则称发散 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第四节 反常积分 一、无穷限的反常积分 定义1 设函数 f (x) 在区间 [a , +) 上连续，取 t > a, 如果极限  →+ t a t f (x)dx lim 存在， 在无穷区间 [a , +) 上的反常积分，记作 ( )d ,  + a f x x 即 ( )d ( )d .  lim →+ + = t a t a f x x f x x 此时也称反常积分收敛，如果极限不存在，则称发散. 则称此极限为函数 f (x) 1. 定义

第四节反常积分 类似地可定义： f()dx=limf(d [f()dx=f()dx+[f(x)dx limfdx+limf()d 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第四节 反常积分 类似地可定义： ( )d ( )d .  lim →− − = b t t b f x x f x x ( )d ( )d . ( )d ( )d ( )d 0 0 0 0 lim lim    →− →+ + − + − = + = + t t t t f x x f x x f x x f x x f x x

第四节反常积分 2.计算方法 设Fx)为fx)在区间[a,+o)上的一个原函数，若 limF(x)存在，则有计算公式 x→+00 f(x)dx=lim F(x)-F(@)=[F(x X→十00 f(x)dx=F(b)-lim F(x)=[F() f(x)dx=lim F(x)-lim F(x)=[F(x X)+0∞ X→-00 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第四节 反常积分 2. 计算方法 设 F(x) 为 f (x) 在区间 [a , +) 上的一个原函数，若 ( ) limF x x→+ 存在，则有计算公式 ( )d ( ) ( ) [ ( )] . lim + →+ + = − =  a x a f x x F x F a F x ( )d ( ) ( ) [ ( )] . lim b x b f x x F b F x F x − →− − = − =  ( )d ( ) ( ) [ ( )] . lim lim + − →+ →− + − = − =  f x x F x F x F x x x

第四节反常积分 3.几何意义 若反常积分f(x)dx收敛，且fe)≥0，x∈[a,+o), 则其几何意义是：曲线y=fx),x=a,x轴所围的开口 曲边三角形的面积存在，且为 ["fodas y=f(x) 这时x轴是曲线y=fx)的水平 渐近线. 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第四节 反常积分 3. 几何意义 若反常积分  + a f (x)dx 收敛， 则其几何意义是： 曲边三角形的面积存在，且为 ( )d .  + a f x x 这时 x 轴是曲线y = f (x)的水平 渐近线. 且f (x)  0 , x  [a , +), 曲线 y = f (x) , x = a , x 轴所围的开口 a x y y = f (x) O

第四节反常积分 若反常积分 fx)d收敛，且fe)≥0，x∈(oo,b1, 则其几何意义是：曲线y=fx),x=b,x轴所围的开口 曲边三角形的面积存在，且为心fx)dx.这时x轴是 曲线y=f(x)的水平渐近线， y=f() b 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第四节 反常积分 若反常积分 − b f (x)dx 收敛， 则其几何意义是： 曲边三角形的面积存在，且为 ( )d . − b f x x 曲线y = f (x)的水平渐近线. 且f (x)  0 , x  (- , b], 曲线 y = f (x) , x = b , x 轴所围的开口 b x y y = f (x) O 这时 x 轴是

第四节反常积分 若反常积分f(x)dr收敛，且fe)≥0，xe(o,+o, 则其几何意义是：曲线y=f化)与x轴所围的开口曲边 梯形的面积存在，且为f(x)dx. 这时x轴是曲线 y=f)的水平渐近线. y=f(x) x 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第四节 反常积分 若反常积分  + − f (x)dx 收敛， 则其几何意义是： 梯形的面积存在，且为 ( )d .  + − f x x y = f (x)的水平渐近线. 且f (x)  0 , x(-, +), 曲线 y = f (x) 与 x 轴所围的开口曲边 x y y = f (x) O 这时 x 轴是曲线

第四节反常积分 例1计算反常积分1 dx 解 例2计算反常积分tedt(p>0) 解 例3证明反常积分a>0)当p>1时收敛。 当p≤1时发散， 证明 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第四节 反常积分 例1 计算反常积分 . 1 d  2 + − + x x 第四节 反常积分 解 例1 计算反常积分 . 1 d  2 + − + x x  + − + 2 1 d x x + = − [arctan x] x x x x arctan arctan lim →+ lim →− = − π . 2 π 2 π  =      = − − 2 1 1 x y + = x y O 例2 计算反常积分 e d ( 0). 0   + − t t p pt 第四节 反常积分 解 例2 计算反常积分 e d ( 0). 0   + − t t p pt t t pt e d 0 + −  + − = − 0 de 1 pt t p  + − + − = − + 0 0 e d 1 [ e ] 1 t p t p pt pt . 1 2 p = − + = − 2 0 [e ] 1 pt p pt y t − = e t y p = 1 p = 0.8 p = 0.6 p = 0.4 p = 0.2 O 例3 证明反常积分 ( 0) d   + a x x a p 第四节 反常积分 证明 例3 证明反常积分 ( 0) d   + a x x a p 当 p >1 时收敛， 当 p 1 时发散. 当 p = 1 时，  + a p x dx  + = a x dx + = a [ln x] = +, 当 p  1 时，  + a p x dx + −       − = a p p x 1 1       − +   = − , 1. 1 , 1, 1 p p a p p 因此当p>1时收敛，其值为 ; 1 1 − − p a p 当 p 1 时发散. 当 p >1 时收敛， 当 p 1 时发散

第四节反常积分 二、无界函数的反常积分 如果函数f(x)在点a的任一邻域内都无界，那么点 称为函数f心)的瑕点（也称无界间断点）.无界函数的 反常积分又称为瑕积分. 定义2设函数fx)在(a,b上连续，点a为fx)的 瑕点.取t>a,如果极限limf(x)dr存在，则称此极 t→a 限为函数fx)在(，b上的反常积分，仍然记作 f(x)dx, 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第四节 反常积分 二、无界函数的反常积分 如果函数 f (x) 在点 a 的任一邻域内都无界， a 称为函数 f (x) 的瑕点(也称无界间断点). 无界函数的 反常积分又称为瑕积分. 定义2 设函数 f (x) 在 (a , b] 上连续，点 a 为 f (x) 的 瑕点. 取 t > a，如果极限  → + b t t a f (x)dx lim 存在，则称此极 限为函数 f (x) 在 (a , b] 上的反常积分，仍然记作 ( )d ,  b a f x x 那么点

第四节反常积分 即 f()dx=lim f(dx 此时称反常积分收敛，否则称发散 类似地可定义： 若函数fx)在[a,b)上连续，点b为fx)的瑕点， 则定义 f()dx=limf()dx. 若函数f)在a,b]上除c(a<c<b)外连续，c为 f)的瑕点，则定义 (dx=f)dx+f()dx=lim[f(d+limfd 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第四节 反常积分 即 ( )d ( )d .  lim → + = b t t a b a f x x f x x 类似地可定义： 若函数 f (x) 在 [a , b) 上连续，点 b 为 f (x) 的瑕点， 则定义 ( )d ( )d .  lim → − = t a t b b a f x x f x x 此时称反常积分收敛，否则称发散. 若函数 f (x) 在 [a , b] 上除 c (a < c < b) 外连续，c 为 f (x) 的瑕点，则定义 ( )d ( )d ( )d ( )d ( )d .    lim lim → − → + = + = + b t t c t a t c b c c a b a f x x f x x f x x f x x f x x