《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第七章微分方程_第三节齐次方程

第三节齐次方程 一、齐次方程 *二、可化为齐次的方程 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第三节 齐次方程 一、齐次方程 *二、可化为齐次的方程

第三节齐次方程 一、齐次方程 1.定义 定义如一阶微分方程 =fx,)可化成 dx -o d 的形式，则称该一阶微分方程为齐次方程 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第三节 齐次方程 一、齐次方程 定义 如一阶微分方程 ( , ) d d f x y x y = 可化成 的形式， 则称该一阶微分方程为齐次方程. 1. 定义       = x y x y  d d

第三节齐次方程 2 dx 2.解法 令u=上，则y=, d 2=u du 于是原方程化为 d dx du =p(u）-u. 这为可分离变量的微分方程. 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第三节 齐次方程 2. 解法       = x y x y  d d 令 , x y u = 则 , d d d d , x u u x y y = ux = + 于是原方程化为 ( ) . d d u u x u x =  − 这为可分离变量的微分方程

第三节齐次方程 例1解微分方程y=y+ta y x x 解 例2求微分方程(y2-2xy)dx+x2dy=0的通解. 解 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第三节 齐次方程 例1 解微分方程 tan . x y x y y  = + 第三节 齐次方程 解 例1 解微分方程 tan . x y x y y  = + 令 , x y u = 则 , d d d d , x u u x y y = ux = + 于是原方程化为 u + xu  = u + tan u . 分离变量 , d d sin cos x x u u u = 两边积分 , d d sin cos   = x x u u u 得 ln sin u = ln x + ln C , sin u = C x . 故原方程的通解为 C x x y sin = ( C 为任意常数 ). 例2 求微分方程 第三节 齐次方程 解 例2 求微分方程 原方程变形，得 2 , d d 2        −      = x y x y x y 令 , x y u = 则有 2 , d d 2 u u x u u + x = − . d d 2 u u x u x = − 分离变量，得 , d d 2 x x u u u = − 积分得 ln ln , 1 ln x C u u = − + − 代回原变量得通解 . ( 1) C u x u = − x ( y − x ) = Cy (C 为任意常数). ( 2 )d d 0 2 2 y − x y x + x y = 的通解． 的通解．

第三节齐次方程 例3探照灯的聚光镜面是一张旋转曲面，它的形状由 xOy坐标面上的一条曲线L绕x轴旋转而成，按聚光性能 的要求，在其旋转轴x轴)上一点O处发出的一切光线， 经它反射后都与旋转轴平行求曲线L的方程. 解 上页 下页 返回 MatheS 公式 线与面 数学家

第三节 第三节 齐次方程 齐次方程 解 例3 探照灯的聚光镜面是一张旋转曲面, 它的形状由 的要求, 在其旋转轴 (x 轴)上一点O处发出的一切光线, xOy 坐标面上的一条曲线L绕 x 轴旋转而成,按聚光性能 经它反射后都与旋转轴平行.求曲线 L 的方程. 由光的反射定律: L : y = f (x) ( y  0) . 将光源所在点取作坐标原点, 并设 入射角 = 反射角 例3 探照灯的聚光镜面是一张旋转曲面, 它的形状由 的要求, 在其旋转轴 (x 轴)上一点O处发出的一切光线, xOy 坐标面上的一条曲线L绕 x 轴旋转而成,按聚光性能 经它反射后都与旋转轴平行.求曲线 L 的方程.    A O P N M S T L x y

第三节齐次方程 *二、可化为齐次的方程 方程 dy ax+by+c dx ax+by+c 当c=c1=0时是齐次的，否则不是齐次的.在非齐次的 的情形，可用下列变换把它化为齐次方程：令 x=X+h, (y=Y+k, 其中h和k是待定的常数.于是原方程可化为 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第三节 齐次方程 *二、可化为齐次的方程 方程 1 1 1 d d a x b y c ax by c x y + + + + = 当 c = c1 = 0 时是齐次的，否则不是齐次的. 在非齐次的 的情形，可用下列变换把它化为齐次方程：令    = + = + , , y Y k x X h 其中 h 和 k 是待定的常数. 于是原方程可化为

第三节齐次方程 dy_ ax+by+c x=X+h dx ax+by+c y=Y+k dY ax+bY+ah+bk+c dx ax+br+ah+bk+c 下面分两种情况讨论， 1. a b 这时方程组 ah+bk+c=0,2 有唯一解，从而原方程 ah+bk+c=0 dY ax+by 齐次方程 变形为 dY aX+bY 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第三节 齐次方程 1 1 1 d d a x b y c ax by c x y + + + + =    = + = + y Y k x X h . d d 1 1 1 1 1 a X bY a h b k c aX bY ah bk c X Y + + + + + + + + = 下面分两种情况讨论. 1. b b a a1 1  这时方程组    + + = + + = 0 0 , 1 1 1 a h b k c ah bk c 有唯一解，从而原方程 变形为 . d d a1 X b1 Y aX bY X Y + + = 齐次方程

第三节齐次方程 2. a b 这时方程组 ah+bk+c=0, 无解，上述方法不能使 ah+bk+c=0 用.但这时原方程可变形为 dy ax+by+c dx A(ax+by)+c 令v=x+y,则d=a+b少， 于是原方程成为 dx dx v+c 可分离变量的方程 2w+C1 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第三节 齐次方程 2. b b a a1 1 = 这时方程组    + + = + + = 0 0 , 1 1 1 a h b k c ah bk c 无解，上述方法不能使 用. 但这时原方程可变形为 . d ( ) d 1 ax by c ax by c x y + + + + =  令 v = ax + by ，则 , d d d d x y a b x v = + 于是原方程成为 . d 1 d 1 v c v c a x v b + +  =      −  可分离变量的方程

第三节齐次方程 例4解微分方程(2x+y-4)dx+(x+y-1)dy=0. 解 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第三节 齐次方程 例4 解微分方程 第三节 齐次方程 解 例4 解微分方程 (2x+y−4)dx+(x+ y −1)dy = 0. 原方程变形，得 , 1 2 4 d d + − + − = − x y x y x y 令    = + = + , , y Y k x X h 代入方程，得 , 1 2 2 4 d d + + + − + + + − = − X Y h k X Y h k X Y