《线性代数》课程教学课件（讲稿，B）§3.3 初等矩阵

§3.3初等矩阵 一、初等矩阵的定义 二、初等矩阵在矩阵乘法中的应用 三、利用初等变换法求逆矩阵 四、本节总结

§3.3 初等矩阵 一、初等矩阵的定义 三、利用初等变换法求逆矩阵 四、本节总结 二、初等矩阵在矩阵乘法中的应用

一、初等矩阵的定义 矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛. 1.定义3.3.1由单位矩阵E经过一次初等变换得到 的方阵称为初等矩阵 三种初等变换对应着三种初等方阵. 1.对调两行或两列； 2.以数k≠0乘某行或某列； 3.以数k乘某行（列)加到另一行（列）上去. 2.初等方阵分类

1.定义3.3.1 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到 的方阵称为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等方阵. 矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算,应用广泛.       以 数 乘某行（列）加到另一行（列）上去． 以 数 乘某行或某列； 对调两行或两列； k k 3. 2. 0 1. 2.初等方阵分类 一、初等矩阵的定义

(1)对调矩阵的两行 对调E中第i,j两行，即(：分1)，得初等方阵 ←第i行 E(i,j)= ←第j行

对调 E 中第 i, j 两行，即(ri  rj )，得初等方阵 1 1 0 1 1 ( , ) 1 1 0 1 1 E i j         第 i 行  第 j 行 (1)对调矩阵的两行

(2)以数k≠0乘以某行或某列 以数k≠0乘单位矩阵的第行(y×k),得初等 矩阵E(i(k) E(i(k= ←第i行

( ( )). 0 ( ) E i k k i ri k 矩 阵 以 数  乘单位矩阵的第行  ，得初等 1 1 ( ( )) 1 1 E i k k                         第 i 行 (2)以数k  0乘以某行或某列

(2)以数k≠0乘以某行或某列加到另一行或列上 以k乘E的第j行加到第i行上(+kr) [或以k乘E的第i列加到第j列上(c+kc), ←第行 E(i(k),i)= ←第行

或 以 乘 的 第 列加到第 列 上 ， 以 乘 的 第 行加到第 行 上 [ ( ) ( ) j i i j k E i j c kc k E j i r kr   1 1 ( ( ) ) 1 1 k E j k i                        ，  第i行  第j行 (2)以数k  0乘以某行或某列加到另一行或列上

3.初等矩阵的性质 (①)初等矩阵都是可逆矩阵； (2)初等矩阵的逆矩阵仍是初等矩阵： (3)初等矩阵的逆矩阵仍是同类型的初等矩阵： Ei,)=E(i,); E()'=E(册 E,i)=E(),). 4初等矩阵在矩阵乘法中的作用 对矩阵进行初等变换，可通过左乘或右乘相应的初 等矩阵来表示

3.初等矩阵的性质 (1)初等矩阵都是可逆矩阵； (2)初等矩阵的逆矩阵仍是初等矩阵； (3)初等矩阵的逆矩阵仍是同类型的初等矩阵； 1 E i j E i j ( , ) ( , );   1 1 E i k E i ( ( )) ( ( )); k   1 E j k i E j k i ( ( ), ) ( ( ), ) .    4.初等矩阵在矩阵乘法中的作用 . , 等矩阵来表示 对矩阵进行初等变换 可通过左乘或右乘相应的初

例如 L11 12 ai aiz A- 。8 amn 用m阶初等矩阵E,m(i,)左乘A,得

11 12 1 1 2 1 2 1 2 n i i in j j jn m m mn a a a a a a A a a a a a a        例如 ( , ) 用m E i j A 阶初等矩阵 m 左乘 ，得

2 : : : ←第i行 E (i,j)A= : : ←第j行 相当于对矩阵A施行第一种初等行变换 把A的第i行与第j行对调（分）：

11 12 1 1 2 1 2 1 2 ( , ) n j j jn m i i in m m mn a a a a a a E i j A a a a a a a                         第 i 行  第 j 行 ( ). i j A i j r r A 把 的 第 行与第 行对调  相当于对矩阵 施行第一种初等行变换：

类似地， 以n阶初等矩阵E,(亿，)右乘矩阵A, j L21 AE (i,j)= 02i mi 相当于对矩阵A施行第一种初等列变换 把A的第i列与第j列对调(c:→c;)

( , ) n E i j A n 类似地， 以 阶初等矩阵 右乘矩阵 ， 11 1 1 1 21 2 2 2 1 ( , ) j i n j i n n m mj mi mn a a a a a a a a AE i j a a a a                ( ). i j A i j c c A 把 的 第 列与第 列对调  相当于对矩阵 施行第一种初等列变换：

以Em(i(k)左乘矩阵A, 1 12 。 Eni(k)》A=kaka2 ←第i行 : Qmn 相当于以数k乘A的第i行(×k) 类似地，以E(i(k)右乘矩阵A,其结果 相当于以数k乘A的第i列(c:×k)

相当于以数 k 乘 A的第 i 行 (ri  k)； 11 12 1 1 2 1 2 ( ( )) n m i i in m m mn a a a E i k A ka ka ka a a a                   第 i 行 ( ( )) ( ). n i E i k A k A i c k  类似地，以 右乘矩阵 ，其结果 相当于以数 乘 的第 列 以 Em (i(k))左乘矩阵A