《线性代数》课程教学资源（PPT讲稿，C）5-1向量的内积

第一首向量的内积 一肉积的定义和性质 二向量的长度与类角 三正交向量组 四应用举剑 五正交矩阵与正交变换

内积的定义与性质 1、定义5.1.1 01 b 设n维实向量a= ,B= 称实数 b ab+,b,+.+anbn为向量a与的内积，记作[a,β]. 注：内积是向量的一种运算，用矩阵形式表示，有 b [a,B]=(a14.an) =a'B. b

一、内积的定义与性质 1、定义5.1.1 设ｎ维实向量 称实数 1 1 2 2 , , n n a b a b a b           = =                  , . 1 1 2 2 n n a b a b a b + + + 为向量α与β的内积，记作 注：内积是向量的一种运算，用矩阵形式表示，有   ( ) 1 2 1 2 . n n b b a a a b         = =         

2、性质 (1)对称性：[a,B]=[B,a] (2)线性性：[a+B,y]=[,y]+[B,y] [ka,B]=k[a,B] (3)正定性：[a,a]≥0，当且仅当a≠0时a,a]>0. 二、向量的长度 1、长度的概念 令la=[a,a]=Va,2+a,2+.an为n维向量a 的长度（模或范数). 特别长度为1的向量称为单位向量

２、性质 （1）对称性： （2）线性性： （3）正定性： １、长度的概念     , ,  =          + = + , , ,      k k     , ,  =    , 0,   当且仅当   0 时  , 0.   二、向量的长度   2 2 2 1 2 , n 令    = = + + a a a 为ｎ维向量α 的长度（模或范数）. 特别 长度为１的向量称为单位向量

2、性质 （1)正定（非负）性：a≥0；且a=0台a=0: (2)齐次性： Ika=k-al; (3)三角不等式： la+≤a+B 注①当a≠0时，a°= 、 a a是a的单位向量. ②由非零向量a得到单位向量a= 的过程 称为把单位化或标准化. a9

（1）正定(非负)性： （2）齐次性： （3）三角不等式： ２、性质     =  = 0; 0 0 且 ； k k   =  ;     +  + ; 注 ①当   0 时， ②由非零向量α得到单位向量 是α的单位向量. 0 1    = 0 1    = 称为把α单位化或标准化. 的过程

三、正交向量组 1、正交 当[a,B]=0,称与征交 注①若α=0，则a与任何向量都正交， 2、正交组 若向量组中的向量两两正交，且均为非零向量，则 这个向量组称为正交向量组，简称正交组， 3、标准正交组 由单位向量组成的正交组称为标准正交组

三、正交向量组 1、正交 当  , 0  = ，称α与β正交. 注 ① 若  = 0 ，则α与任何向量都正交. 2、正交组 若向量组中的向量两两正交，且均为非零向量，则 这个向量组称为正交向量组，简称正交组. 3、标准正交组 由单位向量组成的正交组称为标准正交组

4、性质 定理5.1.1 正交向量组是线性无关向量组. 证：设4，a,4m是正交向量组，若有线性关系 k141+k242+.+km0m=0, 用4：与等式两边作内积，得 k[a,4]=0 (i=1,2,.,m) 则4，≠0，有[4，]>0，从而得 k,=0,(i=1,2,m) 故4,2，n线性无关

定理5.1.1 4、性质 正交向量组是线性无关向量组. 证: 设 a a a 1 2 , , , m 是正交向量组, 若有线性关系 1 1 2 2 0, m m k a k a k a + + + = 用 ai 与等式两边作内积,得 , 0 i=1,2, ,m . ( ) i i i k a a  =   则 0, , 0, a a a i i i     有  从而得 ki = 0, i=1,2, ,m ( ) 故 线性无关. 1 2 , , , m a a a

定理 若向量与C1,心2，.，&，中每个向量都正交，则 与a1,a2,.,a,的任一线性组合也正交. 5、正交基 若正交向量组a4,c2,.,&,为向量空间V上的一个基， 则称c1,c2,.,c,为向量空间V上的一个正交基. 6、标准正交基 若单位向量组51,52，.，5，组成的正交基 则称为一个标准正交基

定理 若向量β与 β与 1 2 , , ,    s 中每个向量都正交，则 的任一线性组合也正交. 1 2 , , ,    s 5、正交基 若正交向量组 1 2 , , ,   r 则称 为向量空间Ｖ上的一个正交基. 1 2 , , ,   r 为向量空间Ｖ上的一个基， 6、标准正交基 若单位向量组 1 2 , , , r    则称为一个标准正交基. 组成的正交基

7、施密特（Schmid证)正交化法 设a1,a2,.,a,是向量空间V的一个基，要求向量空 间V的一个标准正交基，就是要找到一组两两正交的单 位向量51,52，.，5，使51,52，.，5，与C1,&2,.,0,等价， 此问题称为把c,02,.,C这组基标准正交化. 1)正交化 令P1=1 f.=0

7、施密特（Schmidt）正交化法 设    1 2 , , , r 是向量空间Ｖ的一个基，要求向量空 间Ｖ的一个标准正交基，就是要找到一组两两正交的单 位向量 1 2 , , , r    ，使 1 2 , , , r    与 1 2 , , ,   r 等价， 此问题称为把 这组基标准正交化. 1 2 , , ,   r 1）正交化 令   1 1 = 1 2 2 2 1 1 1 , ,            = −     1 2 1 r 1 2 1 1 1 2 2 1 1 , , , , , , r r r r r r r r                  − − − −             = − − − −            

则B1,乃2，.，B.两两正交，且与Qx1,02,.,c,等价. 2)标准化 就得到V的一个标准正交向量组. 如果1,42，.，0心，是V的一组基，则51,52，.，5，就是 V的一组标准正交基. 上述方法称为施密特（Schmidt)正交化法， 注上述方法中的两个向量组对任意的1≤k≤r, 51,52,.,5与&1,02，.，0都是等价的

就得到Ｖ的一个标准正交向量组. Ｖ的一组标准正交基. 如果 上述方法称为施密特（Schmidt）正交化法. 2）标准化 1 1 2 2 1 2 1 1 1 , , , , r r r          令 = = = 1 2 , , ,   r 是Ｖ的一组基，则 1 2 , , , r    就是 注 则 两两正交，且与 1 2 , , ,   r 等价. 1 2 , , ,    r 上述方法中的两个向量组对任意的 1 ,   k r 1 2 , , , k    与 1 2 , , ,   k 都是等价的

四、应用举例 例1 把向量组 41= 2 -1 化为标准正交向量组， 解：将41,42，g正交化，取 B1=a1= 2 -1 -1 f2=0,-1 1 1 月，=a

四、应用举例 例1 把向量组 化为标准正交向量组. 解: 将 , 1 2 1 1           − a = , 1 3 1 2           − a =           = − 0 1 4 3 a a1 , a2 , 3 正交化, 取 ; 1 2 1 1 1           −  =  =     1 1 1 2 1 2 2 , ,       =  − 1 1 4 3 2 6 1 1     −     = −             − ; 1 1 1 3 5           − =         2 2 2 3 2 1 1 1 3 1 3 3 , , , ,            =  − −           − +           − −           = − 1 1 1 3 5 1 2 1 6 2 0 1 4 1 2 0 1     =      