《线性代数》课程教学资源（PPT讲稿，C）5-4实对称矩阵的相似对角形

第囚节实对榜短库的对角化

复习 1、定义设A、B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P, 使得PAP=B,则称B是A的相似矩阵，或者说矩阵 A与B相似. 记作：A∽B. 对A进行运算P-AP,称为对A进行相似变换， 可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵. 2性质 (1) 反身性：A∽A; (2) 对称性：A∽B, 则B∽A; (3)传递性： AB,BpC,则A刀C;

一、复习 1、定义 设Ａ、Ｂ都是ｎ阶矩阵，若有可逆矩阵Ｐ， 使得 1 P AP B, − = 则称Ｂ是Ａ的相似矩阵，或者说矩阵 Ａ与Ｂ相似． 对Ａ进行运算 P AP −1 , 称为对Ａ进行相似变换， 可逆矩阵Ｐ称为把Ａ变成Ｂ的相似变换矩阵． 记作： Ａ∽Ｂ． 2、性质 （1） 反身性： （2） 对称性： （3） 传递性： Ａ∽Ａ； Ａ∽Ｂ，则Ｂ∽Ａ； Ａ∽Ｂ，Ｂ∽Ｃ，则Ａ∽Ｃ；

4) ADB,则R(A)=R(B) (5)A∽B,则A=B (6)A∽B,且A可逆，则A1∽B 定理 若n阶矩阵A与B相似，则A与B有相同的特征 多项式，从而A与B有相同的特征值. 推论 若n阶矩阵A与对角矩阵 Λ=dig(乙1,22，.，2n)= 相似，则入1，几2，.，2n就是A的n个特征值

（4）Ａ∽Ｂ，则 R A R B ( ) = ( ) （5）Ａ∽Ｂ，则 A B = （6）Ａ∽Ｂ，且Ａ可逆，则 1 1 A B − − ∽ 定理 若ｎ阶矩阵Ａ与Ｂ相似，则Ａ与Ｂ有相同的特征 多项式，从而Ａ与Ｂ有相同的特征值． 推论 若ｎ阶矩阵Ａ与对角矩阵 1 2 1 2 ( , , , ) n n diag            = =         相似， 1 2 , , , 则    n 就是Ａ的ｎ个特征值．

(7) A刀B,则4"Bm (8)AnB,则A的多项式p(A)∽p(B) 特别若有可逆矩阵P使PAP=人，则A=PAP1 p(A)=Pp(Λ)P-1. 而对对角阵个有 2 p(2) Λ= p(22) ,p(A)= p(2n) 这样可以方便地计算A的多项式p(A)

1 , k K A P P− =  1   ( ) ( ) . A P P− =  而对对角阵  有 若有可逆矩阵Ｐ使 则 （8）Ａ∽Ｂ，则Ａ的多项式 特别   ( A B ) ∽ ( ) 1 P AP , − =  1 1 2 2 ( ) ( ) , ( ) , ( ) k k k k n n                    =  =                 这样可以方便地计算Ａ的多项式 ( ). A （7）Ａ∽Ｂ，则 m m A B ∽

一、对称矩阵的性质 说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 。 明，均指实对称矩阵 引理5.4.1对称矩阵的特征值为实数. 证明设复数2为对称矩阵A的特征值，复向量x为 对应的特征向量， 即 Ac=2x,x≠0. () 用入表示的共轭复数，表示x的共轭复向量， 则 Ax=Ax=(Ax)=(x)=元x (2）

引理5.4.1 对称矩阵的特征值为实数. 证明 , , 对应的特征向量 设复数为对称矩阵A的特征值 复向量x为 即 , 0. 1 Ax x x =   ( ) 用 表示的 共轭复数 , 则 Ax = Ax = = = ( Ax x x ) (  ) . 2( ) 一、对称矩阵的性质 说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 明，均指实对称矩阵． x表示x的共轭复向量

于是(xx得 Ax=x2x=元xTx, 及x'A=kAk=(Ax=(亿xyx'x 两式相减，得 (-)xx=0. 但因为x≠0， 所以 xx=2,=20,→-列=0， 即2=几，由此可得是实数

x Ax T x Ax T 及 x x T =  x x, T =  (x A )x T T = (Ax) x T = ( x) x T =  x x. T =  两式相减，得 ( − )x x = 0. T   但因为x  0,  ( − ) = 0, 即 = , 由此可得是实数. 0, 1 2 1 =  =   = = n i i n i i i T 所以 x x x x x 于是 (1) x   得

引理5.4.1的意义 由于对称矩阵A的特征值几：为实数，所以齐次 线性方程组 (A-:E)x=0 是实系数方程组，由A一入：E=0知必有实的基础解 系，从而对应的特征向量可以取实向量

引理5.4.1的意义 , . , 0 ( ) 0 , 系 从而对应的特征向量可以取实向量 是实系数方程组 由 知必有实的基础解 线性方程组 由于对称矩阵 的特征值 为实数 所以齐次 − = − = A E A E x A i i i   

定理2设入，22是对称矩阵A的两个特征值，P1, P2是对应的特征向量若21≠元2，则p与p2正交. 条件： P1=Ap1,22P2=Ap2,九1≠2， :A对称，A=AT, 要证 p与p2正交. 即 (8-)p,p=0. 即 p,'p,=2p,'n .=()=(Ap)=PIAT=p'A, 1p1P2=p1Ap2=p1(2P2)=2p1P2

, , . 2 , , , 2 1 2 1 2 1 2 1 是对应的特征向量若 则 与 正 交 定 理 设 是对称矩阵 的两个特征值 p p p A p      ( 1 2 2 ) 1 0. T 即   − = p p 要证 1 2 p p 与 正交. 2 2 1 1 1 2 T T 即   p p p p = ( ) 1 1 2 1 2 1 2 p2 p p p Ap p T T T  = =  , 2 1 p2 p T =  ( ) ( ) T T T 1 p1 = 1 p1 = Ap1 , p1 A p1 A T T T = = , , , 1 p1 = Ap1 2 p2 = Ap2 1  2 A , A A , T  对称 = 条件：

证明入P1=A1,2P2=Ap2,21≠2， A对称，A=A, =(p)=(Ap)=pA=pA, 于是元1p,p2=p1p2=p,(2P2)=2p,7p2, → (21-22)p1p2=0. 1≠2，.p1p2=0.即p1与p2正交

证明 , , , 1 p1 = Ap1 2 p2 = Ap2 1  2 A , A A , T  对称 = ( ) ( ) T T T 1 p1 = 1 p1 = Ap1 , p1 A p1 A T T T = = 于是 ( ) 1 1 2 1 2 1 2 p2 p p p Ap p T T T  = =  , 2 1 p2 p T =  ( ) 0.  1 − 2 p1 p2 = T   , 1  2 .  p1 p2 = 0. 即p1与p2正交 T

定理3设A为n阶对称矩阵入是A的特征方程的r 重根，则矩阵A-E的秩R(A-E)=n-r,从而 对应特征值入恰有r个线性无关的特征向量 定理4设A为n阶对称矩阵则必有正交矩阵P,使 P-AP=人，其中A是以A的n个特征值为对角元 素的对角矩阵 证明设A的互不相等的特征值为21,22，.，2， 它们的重数依次为1,2，.，(+2+.+r=n). 根据引理1（对称矩阵的特征值为实数）和引 理3（如上）可得：

. , 4 , , 1 素的对角矩阵 其 中 是 以 的 个特征值为对角元 定 理 设 为 阶对称矩阵 则必有正交矩阵 使 P AP A n A n P =   − 证明 , , , , 1 2  s 它们的重数依次为 s r ,r , ,r 1 2  . , ( ) , 3 , 对应特征值 恰 有 个线性无关的特征向量 重 根 则矩阵 的 秩 从 而 定 理 设 为 阶对称矩阵 是 的特征方程的 r A E R A E n r A n A r     − − = − ( ). r1 + r2 + + rs = n 根据引理1（对称矩阵的特征值为实数）和引 理3( 如上)可得： 设 A 的互不相等的特征值为