《线性代数》课程教学课件（讲稿，B）第四章 线性方程组 §4.1 线性方程组的解的判别

第四章 线性方程组 §4.1线性方程组的解的判别 §4.2齐次线性方程组的解的结构 §4.3非齐次线性方程组解的结构

第四章 线性方程组 §4.1 线性方程组的解的判别 §4.2 齐次线性方程组的解的结构 §4.3 非齐次线性方程组解的结构

§4.1线性方程组的解的判别 一、引例 二、线性方程组的解的判别方法

§4.1 线性方程组的解的判别 一、引例 二、线性方程组的解的判别方法

一、引例 对于n元线性方程组 1x1+012X2+.+41nXn=b, 21X1+a22x2+.+42mxn=b2 (4-1) mXi+am2七2+.+amn七n=bm 记 12 . n 41n 412 . d21 L22 Q2n ,A= 421 l22 . A= Amt Am2 。· Aml Am2 Amn

对于n 元线性方程组 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 (4 1) n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b                     11 12 1 11 12 1 1 21 22 2 21 22 2 2 1 2 1 2 , n n n n m m mn m m mn m a a a a a a b a a a a a a b A A a a a a a a b                           记 一、引例

D D2 x= 七 b= : Xn 于是，这个非齐次方程组可以记为Ax=b 由第二章的讨论可知，方程组(4-1)与增广矩 阵具有一一对应关系，对方程组进行加减消元相 当于对其增广矩阵进行初等变换，因此求解方程 组的问题就可以转化为矩阵的初等行变化问题.一 般线性方程组的解可能会出现三种情况：有唯一 解、有无穷多解或无解

1 1 2 2 , . n m x b x b x b x b                           于是，这个非齐次方程组可以记为 Ax = b 由第二章的讨论可知，方程组(4-1)与增广矩 阵具有一一对应关系，对方程组进行加减消元相 当于对其增广矩阵进行初等变换，因此求解方程 组的问题就可以转化为矩阵的初等行变化问题.一 般线性方程组的解可能会出现三种情况：有唯一 解、有无穷多解或无解

二、线性方程组解的判别 定理4.1.1线性方程组(4-1)有解的充分必要条件是 它的系数矩阵A与增广矩阵A有相同的秩，即R(A)=R(A) 证：对于一般线性方程组（4-1)，设 W b 421 022 ,B= b2 C1= ,02= ,0必n= m1」 A m2 a mn

二、线性方程组解的判别 4.1.1 (4 1) A A R A R A , ( ) ( ).   线性方程组 有解的充分必要条件是 它的系数矩阵 与增广矩阵 有相同的秩 即 定理 证： 对于一般线性方程组（4-1），设 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 , , , , n n n m m mn m a a a b a a a b a a a b                                                            

则线性方程组(4-1)可写为 x aj+xaz+.+x a =B (4-3) 并且A=[aa.an] A=[aa,.anB] 必要性 若方程组有解，则(4-3)知B可由a,a,cn线性 表示，于是向量组C1,C2,&n与向量组1,0，.，n,B 等价.由性质2.3.1知秩{a1,a2,an}=秩{，02,0n,}, 所以R(A①=R(A

则线性方程组（4-1）可写为 1 1 2 2 (4 3) n n x x x         1 2 1 2 n n A A                    并且 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (4 3) , , , , , , , , , , . 2.3.1 , , , , , , ( ) ( ). n n n n n R A R A                          若方程组有解，则由 知 可由 线性 表示，于是向量组 与向量组 等价由性质 知秩{ }=秩{ , }, 所以 必要性

充分性 若R(A)=R(A),则向量组a,a2,an与向量组a&,a2, ,a,B有相同的秩，所以向量组a,2,a的最大无关 组一定是a,a2,a,的最大无关组，因此B可由向量组 a,a2,2n线性表示由4-3)知方程组(4-1)有解 推论1当R(A)≠R(A)时，方程组(4-1)无解， 推论2如果方程组(4-1)有解，则它有惟一解的 充分必要条件是R(A)=R(A)=n

充分性 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) , , , , , , , , , , , , , , , , . (4 3) (4 1) . n n n n n R A R A                           若 ，则向量组 与向量组 有相同的秩，所以向量组 的最大无关 组一定是 , 的最大无关组，因此 可由向量组 线性表示由 知方程组 有解 推论1 ( ) ( ) (4 1 当R A R A   时，方程组 ) . 无解 (4 1) ( ) ( ) . 2 R A R A n    如果方程组 有解，则它有惟一解的 充分必要条件是 推论

证：（充分性） 由于方程组(4-1)有解，由(4-3)知B可由向量组 a1,2,an线性表示.又R(A)=n,故a1,2,an线性 无关，由定理2.3.2知β可由向量组a1,2,n线性表 示的表达式惟一，即方程组(4-1)有惟一解 (必要性) 由于方程组有解，假设R(A)=R(A)=r<,对 A作初等行变换化为行最简形后对应的同解方程组为

1 2 1 2 1 2 (4 1) (4 3) , , , . ( ) , , , , 2.3.2 , , , (4 1) . n n n R A n                   由于方程组 有解，由 知 可由向量组 线性表示 又 故 线性 无关，由定理 知 可由向量组 线性表 示的表达式惟一，即方程组 有惟一解 证:(充分性) (必要性) R A R A r n ( ) ( ) A 由于方程组有解，假设    ，对 作初等行变换化为行最简形后对应的同解方程组为

x =d1-C1+1-.-CnXm X2 =d2 -Czr-.-cznXn x =d,-Cm+1-.-Cmxn 若给定x+1.xn一组确定的数，由(4-4)式可得 方程组(4-1)的一组解，当x+1xm取两组不同的 数时，便得到方程组(4-1)的两组不同的解，这 与方程组(4-1)由唯一的解矛盾，故=n. 推论3如果方程组4-1)有解，且R(A)=R(A)<n,则方程 组(4-1)有无穷多解

1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 1 r n n r n n r r rr rn n x d c c x x d c c x x d c c x                      若给定xr+1,.,xn一组确定的数，由(4-4)式可得 方程组(4-1)的一组解，当xr+1,.,xn取两组不同的 数时，便得到方程组（4-1）的两组不同的解，这 与方程组(4-1)由唯一的解矛盾，故r=n. 组 有无穷多解. 推论3如果方程组 有解,且 则方程 (4 1) (4 1) ( ) ( ) ,   R A  R A  n

X1-2x2+3x3-x4=1 例1、判断方程组3x-x2+5x,-3x4=2是否有解. 2x1+x2+2x3-2x4=3 解：对方程组的增广矩阵实施初等行变换， 1-23-11]5-31-2 3-111 A= 3-15 -32 05 0-1 L212-235-2r05-4 01 3-2「1 -2 3 -1 1 0 5 4 -1 0 0 0 0 2

例1、判断方程组 是否有解.                  2 2 2 3 3 5 3 2 2 3 1 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x 解： 对方程组的增广矩阵A实施初等行变换， 1 2 3 1 1 3 1 5 3 2 2 1 2 2 3 A                 2 1 3 1 3 ~ 2 r r r r   1 2 3 1 1 0 5 4 0 1 0 5 4 0 1                3 2 ~ r r  1 2 3 1 1 0 5 4 0 1 0 0 0 0 2              