《线性代数》课程教学资源（PPT讲稿，C）1-5习题课

第一章行列式 习题课 a 主要内容 x+y三 典型例题 气测验题 返西

2 排列 行列贵 e 定 LEE口EEEn 性 质 E02080208 展 开 口E口E口E口 共字 全排列及 对 换 epememepem 克拉默法则 下

1 全排列 把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元 素的全排列（或排列）。 n个不同的元素的所有排列的种数用P,表示， 且Pn=n!

把 个不同的元素排成一列，叫做这 个元 素的全排列（或排列）． n n 个不同的元素的所有排列的种数用 表示， 且 ． n P n P n! n = １ 全排列

主主王王 2 逆序数 在一个排列(2.，.，.n中，若数i,>i, 则称这两个数组成一个逆序. 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆 王王王王王王王王王 序数 逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为 偶数的排列称为偶排列. 回

逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为 偶数的排列称为偶排列． 在一个排列 中，若数 ， 则称这两个数组成一个逆序． ( ) t s n i i i i i 1 2 t s i  i 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆 序数． ２ 逆序数

3 计算排列逆序数的方法 分别计算出排列中每个元素前面比它大的数 码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数， 每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数. 上页

分别计算出排列中每个元素前面比它大的数 码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数， 每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数． ３ 计算排列逆序数的方法

4 n阶行列式的定义 12 n D= 21 L22 =∑(1ヅ0p,10p2.0 0n1 an2 其中p1P2.pn为自然数1,2，.，n的一个排列为这 个排列的逆序数∑表示对1,2，.，n的所有排 P1P2.Pn 列取和 区回

( ) p p p n p p p t n n nn n n n n a a a a a a a a a a a a D       1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 = =  − 1 4 n阶行列式的定义 . ; 1,2, , 1,2, , ; 1 2 1 2 列取和 个排列的逆序数 表示对 的所有排 其 中 为自然数 的一个排列 为 这 n p p p n t p p p n n     

n阶行列式D亦可定义为 D=∑(-l)'ap1ap,2.ap.n, P1P2.Pn 其中t为行标排列p1P2.Pm的逆序数 上页

. ( 1) , 1 2 1 2 1 2 1 2 其 中 为行标排列 的逆序数 阶行列式 亦可定义为 t p p p D a a a n D n p p p n p p p t n n    =  −

6 n阶行列式的性质 1)行列式与它的转置行列式相等，即D=D' 2)互换行列式的两行（列），行列式变号 推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式 等于零 3)行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同 数k,等于用数k乘此行列式 区回

T 1) , D . D 2) ( ), . ( ) , . 3) ( ) k k , . 行列式与它的转置行列式相等 即 = 互换行列式的两行 列 行列式变号 推论 如果行列式有两行 列 完全相同 则此行列式 等于零 行列式的某一行 列 中所有的元素都乘以同 一数 等于用数 乘此行列式 ６ n阶行列式的性质

推论行列式中某一行（列的所有元素的公因子可以 提到行列式符号的外面 推论行列式中如果有两行（列元素成比例，则此行列 式为零 4)若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则 此行列式等于两个行列式之和 5)把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数，然 工王王王王王王 后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式的值不变

( ) . ( ) , . 4) ( ) , . 5) ( ) , ( ) , . 行列式中某一行 列 的所有元素的公因子可以 提到行列式符号的外面 行列式中如果有两行 列 元素成比例则此行列 式为零 若行列式的某一列 行 的元素都是两数之和 则 此行列式等于两个行列式之和 把行列式的某一列 行 的各元素乘以同一数 然 后加到另一列 行 对应的元素上去 行列式的值不变 推论 推论

行列式按行（列）展开 1)余子式与代数余子式 在n阶行列式中，把元素a,所在的第行和第 j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素a) 的余子式，记作M:记 A=(-1)4M, A,叫做元素a,的代数余子式 区回

１）余子式与代数余子式 . ( 1) , 1 叫做元素 的代数余子式 的余子式，记作 ； 记 列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 A a A M M j n a n a i ij ij ij i j ij ij ij ij = − − + ７ 行列式按行（列）展开