《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第八章向量代数与空间解析几何_D8_4空间直线及其方程

第四节 空间直线及其方程 一、空间直线方程 二、线面间的位置关系 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

第四节 一、空间直线方程 二、线面间的位置关系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间直线及其方程

一、空间直线方程 1.一般式方程 直线可视为两平面交线，因此其一般式方程 A1x+Biy+Cz+D=0 A2x+B2y+C22+D2=0 (不唯一) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

一、空间直线方程 x y z o 0 A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 1 2 L 因此其一般式方程 1. 一般式方程 直线可视为两平面交线， (不唯一) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2.对称式方程 已知直线上一点M,(xo,y0,20)和它的方向向量 3=(m,n,p,设直线上的动点为M(x,y,z) 则 MoM/l3 M(x,y,2) 故有 x-x0_y-yo 2-20 m n M(x0,yo,20) 此式称为直线的对称式方程（也称为点向式方程） 说明：某些分母为零时，其分子也理解为零 例如，当m=n=0,p≠0时，直线方程为 x=X0 (y=yo HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

( , , ) 0 0 0 0 M x y z 2. 对称式方程 故有 说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零. m x x − 0    = = 0 0 y y x x 设直线上的动点为 则 M (x, y,z) n y y − 0 = p z z − 0 = 此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程) 直线方程为 s 已知直线上一点 ( , , ) 0 0 0 0 M x y z M (x, y,z) 例如, 当 m = n = 0, p  0 时, 和它的方向向量 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3.参数式方程 x-x0=y-0=-0=i 设 m p 得参数式方程 x=xo+mt y=yo+nt 2=20+p1 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

3. 参数式方程 设 得参数式方程 : t p z z n y y m x x = − = − = − 0 0 0 x = x + mt 0 y = y + nt 0 z = z + p t 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.用对称式及参数式表示直线 x+y+z+1=0 12x-y+3z+4=0 解先在直线上找一点. 令x=1,解方程组 6得y=0=2 故(1,0，-2)是直线上一点 再求直线的方向向量 交已知直线的两平面的法向量为 m1=(1,1,1), n2=(2,-1,3) 寸Li,3Ln2s=m×购 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例1.用对称式及参数式表示直线 解:先在直线上找一点. 3 6 2 − = + = − y z y z 再求直线的方向向量 令 x = 1, 解方程组 ,得 y = 0, z = −2 交已知直线的两平面的法向量为 是直线上一点 . s. 1 2  s ⊥ n ,s ⊥ n 1 2  s = n  n 机动 目录 上页 下页 返回 结束

i方 S=n1×n2= 111 =(4,-1,-3) 2 -13 故所给直线的对称式方程为 z+2 -3 x=1+41 参数式方程为 y=-t z=-2-31 解题思路：先找直线上一点： 再找直线的方向向量， HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

故所给直线的对称式方程为 参数式方程为 = t 4 x −1 −1 = y 解题思路: 先找直线上一点; 再找直线的方向向量. = (4,−1,− 3) 1 2 s = n  n 2 1 3 1 1 1 − = i j k 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、线面间的位置关系 1.两直线的夹角 两直线的夹角指其方向向量间的夹角（通常取锐角） 设直线L,L,的方向向量分别为 S=(m1,n1,p1),S2=(m2,n2,p2） 则两直线夹角0满足 3 cos= ss mm2 nn2 pip2 m2+m2+p√m2+2+P 2 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

L2 L1  二、线面间的位置关系 1. 两直线的夹角 则两直线夹角  满足 1 2 设直线 L , L = 两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角) 的方向向量分别为 1 2 1 2 1 2 m m + n n + p p 2 1 2 1 2 1 m + n + p 2 2 2 2 2 2 m + n + p 1 2 1 2 cos s s s  s  = 1 s 2 s 机动 目录 上页 下页 返回 结束

特别有： (1)L11L2→152 > m1m2+nn2+p1p2=0 (2)L∥L2→S1S2 %1=h=P1 m2 n2 p2 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

特别有: 1 2 (1) L ⊥ L 1 2 (2) L // L 0 m1m2 + n1 n2 + p1 p2 = 2 1 2 1 2 1 p p n n m m = = 1 2 s ⊥ s 1 2 s // s 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.求以下两直线的夹角 14 x-1y2+3 x+y+2=0 1-41 2x+2z=0 解：直线L的方向向量为3=Q,-4,1) i可x 直线L,的方向向量为32= 110=(2,-2,-1) 102 二直线夹角0的余弦为 1×2+(-4)×(-2)+1×(-1) /2 cos= 12+(-4)2+1222+(-2)2+(-1)2 2 从而 0= π 4 (参考P332例2) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例2. 求以下两直线的夹角 解: 直线 直线 二直线夹角 的余弦为 (参考P332 例2 )    + = + + = 2 0 2 0 : 2 x z x y L cos = 从而 4   = 的方向向量为 的方向向量为 = (2, − 2, −1) 1 2 + (−4) (−2) +1 (−1) 2 2 2 1 + (−4) +1 2 2 2 2 + (−2) + (−1) 1 0 2 2 1 1 0 i j k s = 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2.直线与平面的夹角 当直线与平面不垂直时，直线和它在平面上的投影直 线所夹锐角0称为直线与平面间的夹角： 当直线与平面垂直时，规定其夹角 设直线L的方向向量为s=(m,n,p) 平面Π的法向量为=(A,B,C) 则直线与平面夹角φ满足 sino=cos(s,n s.n Am+Bn+Cp s Vm2+n2+p21A2+B2+C2 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

当直线与平面垂直时,规定其夹角 线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角; L  2. 直线与平面的夹角 当直线与平面不垂直时, 设直线 L 的方向向量为 平面  的法向量为 则直线与平面夹角  满足  2 2 2 2 2 2 m n p A B C Am Bn C p + + + + + + = 直线和它在平面上的投影直 s = (m,n, p) n = (A, B,C ) ︿ sin = cos( s , n ) s n s  n = s n 机动 目录 上页 下页 返回 结束