《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，C）第二章 矩阵与向量 §2.4 矩阵的秩

第二章矩阵与向量 §2.4矩阵的秩 矩阵的行（列秩、秩 矩阵秩与向量组的极大 无关组、秩的求法 三、k阶子式 四、小结

第二章 矩阵与向量 §2.4 矩阵的秩 一、 矩阵的行(列)秩、秩 二、 矩阵秩与向量组的极大 无关组、秩的求法 三、 k阶子式 四、 小结

第二章矩阵与向量 一、矩阵的行（列秩、秩 定义2.4.1设m×n矩阵A,称A的行向量组的秩称 为矩阵A的行秩，列向量组的秩称为矩阵A的列秩 101 例1求矩阵A= 01 2的行秩和列秩 214 解：A的行向量a1=(1,0,1),2=(0,1,2),c3=(2,1,4) 101 由行列式012=0，知向量组a1,a2,线性相关， 214

第二章 矩阵与向量 定义2.4.1 设m×n矩阵A，称A 的行向量组的秩称 为矩阵A的行秩，列向量组的秩称为矩阵A的列秩. 一、矩阵的行(列)秩、秩 1 0 1 1 0 1 2 . 2 1 4 A     =       例 求矩阵 的行秩和列秩 1 2 3 A的行向量   = = = (1,0,1), (0,1,2), (2,1,4) 1 2 3 1 0 1 0 1 2 0 , , 2 1 4 由行列式 = ，知向量组   线性相关， 解：

第二章矩阵与向量 又，线性无关，故，a,是4的行向量组的一个 最大无关组，所以矩阵A的行秩等于2. 同样方法可以求出A的列秩等于2. 1131 例2求矩阵A= 02-14的行秩和列秩 0005 解：A的行向量a=(1,1,3,1),2=(0,2,-1,4), a3=(0,0,0,5). 去掉第三个分量的a=(1,1,1),2=(0,2,4), 3=(0,0,5)

第二章 矩阵与向量 1 2 1 2 , , 2. A A 又    线性无关，故 是 的行向量组的一个 最大无关组，所以矩阵 的行秩等于 1 2 3 (1,1,3,1), (0,2, 1,4), (0,0,0,5). A    = = − = 的行向量 同样方法可以求出A的列秩等于2. 1 1 3 1 2 0 2 1 4 . 0 0 0 5 A     = −       例 求矩阵 的行秩和列秩 解： 1 2 3 (1,1,1), (0,2,4), (0,0,5).      = =  = 去掉第三个分量的

第二章矩阵与向量 111 由行列式024=10≠0， 知向量组a,a,a线性无关 005 由§2.3例5知，向量组a1,2,也线性无关， 所以A的行秩为3 「1 A的列向量组月，= 4 4个三维向量必线性相关，而其中P1B2B线性无关

第二章 矩阵与向量 1 2 3 111 0 2 4 10 0 , , 005 由行列式 =  ，知向量组     线性无关. § 1 2 3 2.3 5 , , A 3. 由 例 知，向量组   也线性无关， 所以 的行秩为 1 2 3 4 1 1 3 1 0 2 1 4 0 0 0 5 A                     = = = − =                         的列向量组 4个三维向量必线性相关，而其中β1β2β3线性无关

第二章矩阵与向量 因为 2 0 =10≠0 1 4 5 所以A的列秩也等于3. 例1和例2中矩阵的行秩等于列秩并非是偶然的. 为了证明这一点，我们有以下两个定理。 定理2.4.1初等行（列变换不改变矩阵的行（列秩 定理2.4.2初等行（列变换不改变矩阵列（行）向量间 的线性关系

第二章 矩阵与向量 1 0 0 1 2 0 10 0 1 4 5 =  因为 所以A的列秩也等于3. 例1和例2中矩阵的行秩等于列秩并非是偶然的. 为了证明这一点，我们有以下两个定理. 定理2.4.1 初等行(列)变换不改变矩阵的行(列)秩. 定理2.4.2 初等行(列)变换不改变矩阵列(行)向量间 的线性关系

第二章矩阵与向量 例3设矩阵A= 0 】 -1 5其列向量 60 24 a1,2,3,a,间有线性关系：a4=a,+2C2-ac3 矩阵B由矩阵A经过有限次初等行变换得到. 验证B的列向量B,B2,B,B,间也有线性关系 B4=B+2B2-B

第二章 矩阵与向量 1 2 3 4 4 1 2 3 1 2 3 4 4 1 2 3 1 1 3 0 3 0 2 1 5 6 0 2 4 , , , 2 . , 2 A B A B                     = −       = + − = + − 例 设矩阵 其列向量 间有线性关系： ， 矩阵 由矩阵 经过有限次初等行变换得到 验证 的列向量 间也有线性关系

第二章矩阵与向量 解：对矩阵A作初等行变换如下： 「1 3 0 1 3 0 3-6r 5+32 A 0 2 -1 5 0 2 -1 5 -6 -16 4 0 0 -19 19 1 1 3 0 1 10 3 r-3531 0 2 -1 5 0 20 4 2+3 0 0 -1 0 01 -1

第二章 矩阵与向量 解：对矩阵A作初等行变换如下 ： 3 1 6 1 1 3 0 ~ 0 2 1 5 0 6 16 4 r r A −     −       − − 3 2 3 1 1 3 0 ~ 0 2 1 5 0 0 19 19 r r +     −       − 3 1 ( ) 19 1 1 3 0 ~ 0 2 1 5 0 0 1 1 r  −     −       − 31 2 3 3 1 1 0 3 ~ 0 2 0 4 0 0 1 1 r r r r − +           −

第二章矩阵与向量 3 1 0 01 2 -2 010 2 102 001 -1 e =B 容易看出，B的列向量B,B2,B3,B,间也有 线性关系B4=B1+2B2-B3: 推论初等行列)变换不改变矩阵的列（行）秩

第二章 矩阵与向量 2 1 2 1 1 0 3 ~ 0 1 0 2 0 0 1 1 r            − 1 2 1 0 0 1 ~ 0 1 0 2 0 0 1 1 r r B −     =       − 1 2 3 4 4 1 2 3 , 2 . B         = + − 容易看出， 的列向量 间也有 线性关系 推论 初等行(列)变换不改变矩阵的列(行)秩

第二章矩阵与向量 定理2.4.3矩阵的行秩等于列秩 证：由于mX矩阵A总可以经过有限次初等变换化 为标准形 ●● I= 0 0 第r行 0 0 0 第r列 而矩阵的行秩和列秩都等于r,根据定理2.4.1及定 理2.4.2的推论知，对A进行初等行变换和初等列变换， 它的行秩和列秩都不改变，所以A的行秩和列秩都应 等于，即A的行秩等于列秩

第二章 矩阵与向量 定理2.4.3 矩阵的行秩等于列秩. 证：由于m×n矩阵A总可以经过有限次初等变换化 为标准形 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r m n I r           =          第 列 第 行 而矩阵I的行秩和列秩都等于r，根据定理2.4.1及定 理2.4.2的推论知，对A进行初等行变换和初等列变换， 它的行秩和列秩都不改变，所以A的行秩和列秩都应 等于r，即A的行秩等于列秩

第二章矩阵与向量 定义2.4.2矩阵A的行秩和列秩，统称为矩阵A的秩， 记为R(A), 对于m×矩阵A,显然R(A)满足条件： 0≤R(A)≤min{m,m}.若A为n阶方阵，且 R(A)=,则称A为满秩矩阵 推论若矩阵A~B,则R(A)=R(B)

第二章 矩阵与向量 定义2.4.2 矩阵A的行秩和列秩，统称为矩阵A的秩， 记为R(A). ( ) 0 ( ) min{ , }. ( ) . m n A R A R A m n A n R A n A    = 对于 矩阵 ，显然 满足条件： 若 为 阶方阵，且 ，则称 为满秩矩阵 推论 ~ ( ) ( ). 若矩阵A B R A R B ，则 =