《数学分析》课程教学课件（讲稿）定积分的概念

第一节 定积分的概念 一、 问题的提出 二、定积分的定义 三、存在定理 巴四、几何意义 巴五、小结思考题 帮肠 返回

一、问题的提出 实例1（求曲边梯形的面积) 曲边梯形由连续曲线 y=f(x) y=f(x)(f(x)≥0)、 A=? x轴与两条直线x=a、 o a b x x=b所围成 上贡 返回

a b x y o A  ? 曲边梯形由连续曲线 实例1 （求曲边梯形的面积） y  f (x)( f (x)  0)、 x轴与两条直线x  a 、 x  b所围成. 一、问题的提出 y  f (x)

用矩形面积近似取代曲边梯形面积 0 x o (四个小矩形) (九个小矩形) 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积. 上页

a b x y a b x o y o 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积． （四个小矩形） （九个小矩形）

观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系. 3个分割点的图示 1.(上和-下和) 1.05556(积分近似值) 播放 上页 返回

观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 播放

曲边梯形如图所示，在区间[a,b]内插入若干 个分点，a=x<x<x2<<x1<xn=b, 把区间a,b]分成n 个小区间[x-4,x 长度为△x,=x,-x-1 在每个小区间x-1,x] 上任取一点5 七i-5ix-1b 以[x-1,为底，f(传)为高的小矩形面积为 A:=f(5)△x:

曲边梯形如图所示， , [ , ] a x0 x1 x2 x 1 x b a b 个分点，     n  n  在区间 内插入若干 a b x y o  i i x 1 x xi1 xn1 ; [ , ] [ , ] 1 1    i  i  i i i x x x x x a b n 长度为 个小区间 ， 把区间 分成 上任取一点 ， 在每个小区间 i xi xi  [ , ] 1 i i xi A  f ( ) 以[xi1 , xi ]为底，f (i )为高的小矩形面积为

曲边梯形面积的近似值为 4>(5)Ax 当分割无限加细即小区间的最大长度 2=max{△x1,△x2,.△xn} 趋近于零(2→0)时， 曲边梯形面积为A-m∑f(5:)△x i1 上页 回

i n i A   f i x  ( ) 1  曲边梯形面积的近似值为 i n i A   f i x   lim ( ) 1 0   趋近于零 时 ， 当分割无限加细即小区间的最大长度 ( 0) max{ , , } , 1 2        x x  xn 曲边梯形面积为

实例2（求变速直线运动的路程） 设某物体作直线运动，已知速度y=v(t)是 时间间隔[T,T]上t的一个连续函数，且 v(t)≥0，求物体在这段时间内所经过的路程. 思路：把整段时间分割成若千小段，每小段上 速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便 得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值

实例2 （求变速直线运动的路程） 设某物体作直线运动，已知速度v  v(t) 是 时间间隔[ , ] T1 T2 上t 的一个连续函数，且 v(t)  0，求物体在这段时间内所经过的路程. 思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上 速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便 得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值．

(1)分割T=t<t1<t2<.<tn1<tn=T △t:=t:-t-1 △s≈（△t 部分路程值 某时刻的速度 (2)求和s≈∑()△1 i=l (3)取极限入=max{△t1,△t2,△tn) 路程的精确值s=lm∑(c,)△4， -→0 上页 返回

（1）分割 1 0 1 2 1 T2 T t t t t t     n  n   i  i  i1 t t t i i i s  v( )t 部分路程值 某时刻的速度 （2）求和 i i n i s  v t  ( ) 1  （3）取极限 max{ , , , } 1 2 n   t t  t i n i i s  v t   lim ( ) 1 0   路程的精确值

二、定积分的定义 定义设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入 若干个分点0=x。<X,<x,<<x1<x。=b 把区间4，b]分成1个小区间，各小区间的长度依次为 △x;=x;-x-1,(i=1,2,),在各小区间上任取 一点5(5：∈△x;),作乘积f(5)△x:(i=1,2,) 并作和S=∑f传，)△x, =1 记2=max{△x1,△x2,.,△xm},如果不论对[a,b]

设函数 f (x)在[a,b]上有界， 记 max{ , , , }   x1 x2  xn ，如果不论对[a,b] 在[a,b]中任意插入 若干个分点 a x x x x x b  0  1  2  n1  n  把区间[a,b]分成n个小区间，各小区间的长度依次为 xi  xi  xi1，(i  1,2, )，在各小区间上任取 一点 i （ i xi ），作乘积 i xi f ( ) (i  1,2, ) 并作和 i i n i S   f x  ( ) 1  ， 二、定积分的定义 定义

怎样的分法，也不论在小区间x:-1,x,]上 点怎样的取法，只要当2→0时，和S总趋于 确定的极限I,我们称这个极限I为函数f(x) 在区间4，b]上的定积分，记为 积分上限 积分和 f(x)I=im∑f(5:)△ 积分下限 被积函数 被积表达式 积分变量 [a,b]积分区间

怎样的分法，    ba f ( x)dx I i i ni f x   lim ( ) 1 0   被积函数 被积表达式 积分变量 [a,b]积分区间 也不论在小区间[ , ] xi1 xi 上 点 i怎样的取法，只要当  0时，和S总趋于 确定的极限I ， 我们称这个极限I 为函数 f ( x) 在区间[a,b]上的定积分， 记为 积分上限 积分下限 积分和