《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，C）向量的线性相关性

三向量的线性相性 线性组合 方程组、矩阵、向量组的关系 二 三 向量组的线性相关性 四、向量组的秩 五向量空间的维数 上页 返回

四、向量组的秩 一 线性组合 三 向量组的线性相关性 五 向量空间的维数 二 方程组、 矩 阵 、 向量组的关系

课前复习 一、向量的线性相关性 定义2.3.1设向量组A:a41,a2,am和向量B, 如果存在一组数1，入2，入m使 B=入，C1+2x2+.+入mAm 则向量B是向量组A:%1,a2,.的m一个线性组合， 或称向量B可由向量组A线性表示

一、向量的线性相关性 定义2.3.1设向量组 A:1 ,2 ,  , m 和向量，        = + + 1 1 2 2 m m + 如果存在一组数1 ，2 ， ,m ，使 则向量是向量组A： , , ,    1 2 的一个线性组合， m 或称向量 可由向量组 A 线性表示． 课前复习

小结 a与ac1,a2,anm的关系为以下三种情院一： 1、a可由a1,a2,·,am线性表示，且表达式唯一， 2a可由a1,a2,am线性表示， 但不唯一， 如0,0)=（山，-1）+(1,1)=0(1，-1)+0(-1,1) 3不能由a1,2,anm线性表示元 区回

小结: , , , : 与1  2   m 的关系为以下三种情形之 一 1、 可 由1 , 2 ,  , m 线性表示， 且表达式唯一； 2、 可 由1 , 2 ,  , m 线性表示， 但不唯一， 如(0, 0) = (1, −1)+ (−1,1) = 0(1, −1)+ 0(−1,1) 3、 不能由1 ,2 ,  , m 线性表示

二、n元线性方程组、矩阵、向量组的关系 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组 成的集合叫做向量组. 例如：矩阵A-(amxw有n个m维列向量： 2 11 L12 A- 22 21 m2 mn 向量组m1,42,am称为矩阵A的列向量组

若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组 成的集合叫做向量组. 例如: 矩阵A=(aij)mn有n个m维列向量:             = a a a a a a a a a a a a m m mj mn j n j n A             1 2 21 22 2 2 11 12 1 1 a1 a2 a j an 向量组a1 , a2 ,···, an称为矩阵A的列向量组. 二 、 n元线性方程组、 矩 阵 、 向量组的关系

类似地，矩阵A=(amxm有个n维行向量： 421422 a2n a A= a402 a aml am2 amn 向量组a,a必，am称为矩阵A的行向量组， 回

                = a a a a a a a a a a a a m m mn i i in n n A             1 2 1 2 21 22 2 11 12 1 1  向量组1 ’ , 2 ’ ,···, m ’称为矩阵A的行向量组. 类似地, 矩阵A=(aij)mn有m个n 维行向量:  2   i   m 

线性方程组的向量表示 L12 L21'1 22 因此线性方程组可写为 a1x1+2X2+.+CnXn=B 于是方程组有没有解的问题转化为向量阝能否由 向量组a1,02,.,Cn线性表示

线性方程组的向量表示        + + + = + + + = + + + = m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b         1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1     1 1 2 2 n n x x x + + + = 1  2  n  因此线性方程组可写为 方程组有没有解的问题转化为向量  能否由 向量组 线性表示. 1 2    , , , n 于是

三、 向量组的线性相关性 定义2.3.2给定向量组4：a1,a2,am,如果存在不 全为零的数k1,k2,.,km使 k1a1+k2a2+.+kmam=0 则称向量组4是线性相关的，否则称它线性无关 注意 1.若a1,a2,an线性无关，则只有当 1=.=2n=0时，才有 1a1+2a2+.+2nan=0成立. 2.对于任一向量组，不是线性无关就是 线性相关

0 , , , : , , , , 1 1 2 2 1 2 1 2 + + + m m = m m k k k k k k A          全为零的数 使 给定向量组 如果存在不 注意 0 . 0 , 1. , , , , 1 1 2 2 1 1 2 成立 时 才有 若 线性无关 则只有当 + + + = = = = n n n n               . 2. , 线性相关 对于任一向量组 不是线性无关就是 定义2.3.2 则称向量组 A 是线性相关的，否则称它线性无关． 三、 向量组的线性相关性

例5：设r维向量组a=(a1,a2,an)i=1,2,m rH维向量组a,-(a1,a2,apah)i=1,2,m 若维向量组1，a2,an线性无关试证： r十1维向量组a1,a,.,am线性无关 用反证法。若向量组a,a,.,a线性相关，则存在 不全为0的数k1,k2,km,使得 k1a1+k2a)+.+knam=0 成立 1 即 m=0 .+km =0 (1)

例5：设 r＋1维向量组i  = (ai1 , ai2 ,  , ai r，ai r＋1 ), i = 1,2,  ,m r维向量组i = (ai1 , ai2 ,  , ai r ), i = 1,2,  ,m , , , , : 若r维向量组1 a2  am 线性无关 试证 1 , , , . r＋ 维向量组 1   2    m  线性无关 证： 用反证法。若 向量组 1  , 2  ,  , m  线性相关,则存在 不 全 为0的 数k1 , k 2 ,  , k m , 使 得 k1  1  + k 2  2  +  + k m  m  = 0 成 立 即        + + + = + + + = + + + = + + + 0 0 0 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 2 1 r r mr m r r mr m m m a k a k a k a k a k a k a k a k a k     (1) + + +                       + + + =                           11 21 1 12 22 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 0 m m m r r mr r r m r a a a a a a k k k a a a a a a (1)

a11k1+a21k2+.+am1km=0 (2) airk+azrk2 +:+amrkm=0 1+1k1+a2r+1k2+·+Lwm+1knm=0 而方程组(2)可变为： L12 0m2 由卡k,木全为零业式推出向量组 0102’， 0m线性相关.此与已知矛盾. 所以，向量组a1,a,.,@线性无关

而方程组(2)可变为： 即 0 . 1 1 2 2 k α k α k α + ++ m m = 由 于k1 , k 2 ,  , k m 不 全 为 零,由 上 式 推 出 向 量 组 α1 2 ，α ， ，αm， 线性相关.此与已知矛盾. 所以,向量组 , , , .  1   2    m  线性无关        + + + = + + + = 0 0 1 1 2 2 1 1 1 2 1 2 1 r r mr m m m a k a k a k a k a k a k    a1r+1 k1 + a2r+1 k2 ++ amr +1 km = 0 (1)2 11 21 1 12 22 2 1 2 1 2 0 m m m r r m r a a a a a a k k k a a a                   + + + =                         (1)

主主王王王 四、线性相关性的判定 定理1向量组a1,a2,(凿m肺上线性相关 的充分必要条件是1,02，中垂少有一个向 量可由其余m向量线性表示. 证明充分性 王王王王王王 设a1,a2,.am中有一个向量（比如am 能由其余向量线性表示.即有 am=九C1+九2a2+.+九m-10m-1

定理1 向量组 （当 时）线性相关 的充分必要条件是 中至少有一个向 量可由其余 个向量线性表示．    m , , , 1 2  m  2    m , , , 1 2  m − 1 证明 充分性 即有 a m = 11 + 2 2 ++  m−1 m−1 四、线性相关性的判定