《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，C）矩阵的运算

第二草矩阵的运算 九小结 七六五四三二 一 乘数 伴随麵阵 方阵的行到式 短阵的转置 耗阵的羅 法乘 上页 下页

课前复习 1、矩阵的定义 由数域F中的m×n个数排成的m行n列的矩 形数表，称为数域F中的一个m×n矩阵. 12 记作：A= 21 22 021 mn 注：行矩阵，列矩阵，方阵，方阵的行列式，两矩 阵同型，两矩阵相等：

课前复习 1、矩阵的定义 形数表，称为数域Ｆ中的一个ｍ×ｎ矩阵. 由数域Ｆ中的ｍ×ｎ个数 排成的ｍ行ｎ列的矩 ij a 记作： 11 12 1 21 22 2 1 1 n n m m mn a a a a a a A a a a     =         注：行矩阵，列矩阵，方阵，方阵的行列式，两矩 阵同型，两矩阵相等

方阵(m=n方 2、特殊矩阵 行矩阵与列矩阵；A= n) 单位矩阵； 西 对角矩阵； 零矩阵。 回

2、 特殊矩阵        方阵 (m = n); 行矩阵与列矩阵; 单位矩阵; 对角矩阵; 零矩阵. . 0 0 1 0 1 0 1 0 0                      , 2 1               = an a a B  ( , , , ), 1 2 n A = a a  a                n          0 0 0 0 0 0 2 1

3.1.1、矩阵的加法 1、定义 设有两个m×n矩阵A=(a,人B=(b,)那末矩阵 A与B的和记作A+B,规定为 4u+b1 a2+b2 az +ba ax+b22 4+B=

１、定义               + + + + + + + + + + = m m m m m n m n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b A B        1 1 2 2 21 21 22 22 2 2 11 11 12 12 1 1 3.1.1 、矩阵的加法 设有两个 矩阵 那末矩阵 与 的和记作 ，规定为 mn A (a ), B (b ), = ij = ij A B A+ B

说明只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算. 12 3 -5 18 9 例如 1 -9 0 + 6 5 4 3 6 8 3 21 12+1 3+8 -5+9 13 11 1+6 -9+5 0+4 -4 3+3 6+2 8+1 8 上页 回

说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算. 例如           +           − − 3 2 1 6 5 4 1 8 9 3 6 8 1 9 0 12 3 5           + + + + − + + + + − + = 3 3 6 2 8 1 1 6 9 5 0 4 12 1 3 8 5 9 . 6 8 9 7 4 4 13 11 4           = −

2、 矩阵加法的运算规律 ()A+B=B+A; (2)(A+B)+C=A+(B+C) -L12 (3)-A= -022 =(ag 称为矩阵的负矩阵（相反矩阵）】 (④)A+（-A)=0,A-B=A+(-B) 上页

2、 矩阵加法的运算规律 (1) A+ B = B + A; (2)(A+ B)+ C = A+ (B + C). ( )               − − − − − − − − − − = m m m n n n a a a a a a a a a A        1 1 21 22 2 11 12 1 3 (4) A+ (− A) = 0, A− B = A+ (− B). ( ), = − aij 称为矩阵A的负矩阵(相反矩阵)

3.1.2、数与矩阵相乘 1、定义 数2与矩阵4的乘积记作2A或A几，规定为 211 212 21n 2A=A2= 221 222 22n Aam Aam Amn 区回

1、定义 . 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1               = = m m mn n n a a a a a a a a a A A                   3.1.2 、数与矩阵相乘 数与矩阵A的乘积记作A或A,规定为

运算规律 （设AB均是 矩阵， ),4∈R (1)1A=A (2)2(4A)=(2四)A (3)2(A+B)=元A+2B （4)(2+四)A=A+A (5)0A=0 (6)20=0 注意：1)数乘矩阵是数去乘A中的每一个元素 2)若A=,测 λ=0.0r.A=O 矩阵的加法与数乘矩阵合称为矩阵的线性运算， 上页

2、运算规律 （设 A B C 均是 m n 矩阵，  ）  ,  R （1） 1A A = （2）    ( ) ( ) A A = （3）    ( ) A B A B + = + （4） ( )     + = + A A A （6） O O= 注意: 1）数乘矩阵是数λ去乘Ａ中的每一个元素. （5） 0A O= 2）若 A O= ，则  = = 0 . . or A O 矩阵的加法与数乘矩阵合称为矩阵的线性运算

主王王 3.1.3 矩阵的乘法 引例设甲、 乙两家公司生产I、Ⅱ、Ⅲ三种型 号的计算机，月产量（单位：台)为 血 甲 252018 11 12 013 2520 18 4- 乙 241627 42i L22 L23 24 1627 如果生产这三种型号的计算机每台的利润（单位：万 子元 台)为 10.5 0.5 立0.2 B= 02 正0.7 0 邦那这两家公司的月利润单：万元)为多城 上页 返回

3.1.3 矩阵的乘法 1、引例 设甲、乙两家公司生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种型 11 12 13 21 22 23 a a a a a a   =     如果生产这三种型号的计算机每台的利润(单位：万 Ⅰ Ⅱ Ⅲ 甲 乙 25 20 18 24 16 27 Ⅰ Ⅱ Ⅲ 0.5 0.2 0.7 11 21 31 b b b     =       0.5 0.2 0.7 B     =       25 20 18 24 16 27 A   =     那么这两家公司的月利润 (单位：万元) 为多少? 号的计算机，月产量（单位：台）为 元／台)为

依题意 C= 11 012 3 b 4b1+4,b1+013bg1 21 L22 23 b31 421b1+a22b21+023b31 25×0.5+20×0.2+18×0.7 129.1 24×0.5+16×0.2+27×0.7 34.1 甲公司每月的利润为29.1万元，乙公司的利润为 4.1万元. T由例题可知矩阵A、B、C的元素之间有下列关系 C=AB= ab1+a12b21+a13b31 azibu+azba+axbst 上

29.1 34.1   =     C = 25 0.5 20 0.2 18 0.7 24 0.5 16 0.2 27 0.7    +  +  =      +  +  甲公司每月的利润为29.1万元，乙公司的利润为 由例题可知矩阵Ａ、Ｂ、Ｃ的元素之间有下列关系 11 11 12 21 13 31 11 21 11 22 21 23 31 21 a b a b a b c C AB a b a b a b c   + +   = = =       + +   11 11 12 21 13 31 21 11 22 21 23 31 a b a b a b a b a b a b   + + =   + +   11 12 13 21 22 23 a a a a a a       11 21 31 b b b           34.1万元. 依题意