《线性代数》课程教学资源（PPT课件讲稿）第二章 矩阵与向量 2-2 向量及其线性运算

第二章矩阵与向量 §2.2向量及其线性运算 n维向量的概念 二、n维向量的线性运算 三、向量空间与子空间 四、小结思考题

第二章 矩阵与向量 二、n 维向量的线性运算 一、n维向量的概念 四、小结 思考题 §2.2 向量及其线性运算 三、向量空间与子空间

第二章矩阵与向量 一、 n维向量概念 1、定义 定义2.2.1由n个数组成的有序数组(a1,2,.4n)称为 一个n维向量. o=(01,2,.am) 其中第i个数(i=1,2,.,n)称为n维向量 a的第i个分量或坐标

第二章 矩阵与向量 由n个数组成的有序数组(a1 , a2 , . an )称为 一个n维向量.  = ( a1 , a2 , . an ) 其中第 i 个数 ai ( i = 1, 2, . , n ) 称为 n 维向量  的第 i 个分量或坐标. 一、n维向量概念 定义2.2.1 1、定义

第二章矩阵与向量 例如，元线性方程(8)中第i1≤i≤m)个方程 1+42X2+.+umXn=b 的系数和常数项对应着一个n+1维向量 (a1,02,.,4m,b) 而该方程的一个解x1=C,x2=C2,xn=Cn可用一个n 维向量(c,c2,.,c)来表示，该方程组的解构成的维 向量叫做该方程组的解向量 规定：两个向量ax=（a1,2,.4n)B=(亿1，b2,.bn) 相等，记a=阝台4=b:(i=1,2,.,n

第二章 矩阵与向量 规定：两个向量 = ( a1 , a2 , . an ),  = (b 1 , b 2 , . b n ) 相等，记  =  ai = bi ( i = 1, 2, . , n) 1 1 2 2 1 2 (8) (1 ) 1 ( , , , , ) i i in n i i i in i n i i m a x a x a x b n a a a b   + + + = + 例如， 元线性方程 中第 个方程 的系数和常数项对应着一个 维向量 1 1 2 2 1 2 , , , ( , , , ) . n n n x c x c x c n c c c n 而该方程的一个解 = = = 可用一个 维向量 来表示，该方程组的解构成的 维 向量叫做该方程组的解向量

第二章矩阵与向量 2、几种特殊的向量 (1)分量全为实数的向量称为实向量(Real Vector) (2)分量全为复数的向量称为复向量(Complex Vector) (3)零向量0=(0,0，.，0) (4)负向量对a=(a1,2,.n) 称（一a1,一2，一an)为a的负向量. 记为一a. -a=（-u1,-a2,-4n）

第二章 矩阵与向量 2、几种特殊的向量 （2）分量全为复数的向量称为复向量（Complex Vector） （1）分量全为实数的向量称为实向量（Real Vector） （3）零向量 0 = ( 0, 0, . , 0 ) （4）负向量 对  = ( a1 , a2 , . an ) 称 ( －a1 , －a2 , ., －an ) 为 的负向量. 记为－ . － = (－a1 , －a2 , ., －an )

第二章矩阵与向量 行向量a=(1,2,4m） 41 2 列向量 a= =(a1,2,.,n 注意： 1.行向量和列向量只是写法上不同，而本 质上并没有区别。 2.行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算；

第二章 矩阵与向量 行向量  = ( a1 , a2 , ., an ) 列向量 1 2 1 2 ( , , , )T n n a a a a a a        = =       注意: １．行向量和列向量只是写法上不同，而本 质上并没有区别. ２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算；

第二章矩阵与向量 二、n维向量的线性运算 1、n维向量的加法和减法 定义2.2.2设a=（41,2,4n),B=(亿1，b23,bn） 都是n维向量，向量(a1+b1,2+b2,4n+bn)称为 向量与的和，记作a叶B,即 +B=(41+b1,a2+b2,.,Ln+bn） 由负向量即可定义向量的减法： a-B=a+(-B)=(a1-b1,am-bn)

第二章 矩阵与向量 定义2.2.2 设 = ( a1 , a2 , ., an )，  = (b 1 , b 2 , ., b n ) 都是n维向量，向量( a1 + b1 , a2 + b2 , ., an + bn )称为 向量与的和，记作+，即  +  = ( a1 + b1 , a2 + b2 , ., an + bn ) 二、n 维向量的线性运算  － =  + (－ ) =( a1 － b1 , ., an － bn ) 由负向量即可定义向量的减法： 1、n维向量的加法和减法

第二章矩阵与向量 2、n维向量的数乘 定义2.2.3设=（1,2，n),2是实数，定义 a=(九1，九2，20n) 称为数与向量a的乘积，记作几a,简称为数乘， 数2与向量的乘积的性质有： 1)0a=0(2)(-1)a=-03)20=0 (4)如果2≠0，a≠0，那么入a≠0. 向量的加减法及数乘运算统称为向量的线性运算

第二章 矩阵与向量  = (  a1 ,  a2 , .,  an ) 称为数与向量的乘积，记作 ，简称为数乘. 设 = ( a1 , a2 , ., an 定义2.2.3 )， 是实数，定义 向量的加减法及数乘运算统称为向量的线性运算. 数与向量的乘积的性质有: (1) 0 (2) ( ) (3) 0 0 (4) 0 0.        = = − =    ０ -１ 如果 ０， ，那么 2、n维向量的数乘

第二章矩阵与向量 3、n维向量的运算律 设a、B、y是n维向量，0是n维零向量， k、1是任意实数。 (1)a+B=B+a (2) (a+B)+y=a+(B+y) 3) a+0=a (4)a+(-)=0 (5)k(a+B)=ka+kB (6)(k+1)a=ka+la (7)(k1)a=k(la)(8)1-a=a

第二章 矩阵与向量 (1)  +  ＝  +  (2) ( +  ) +  ＝  + (  +  ) (3)  + 0 ＝  (4)  + (－ ) ＝ 0 设  、 、 是 n 维向量，0 是 n 维零向量， k、 l 是任意实数。 3、n维向量的运算律 (5) k ( +  ) ＝ k + k (6) ( k + l )  = k + l (7) ( k l )  = k ( l ) (8) 1· = 

第二章矩阵与向量 例1设a=(1,3,-2,2),B=（5,1,-2,0),若 已知a+2y=3B,求向量y. 解：由a+2=3B得 7=23B-0）=215,3,6,0-1,3,-2,21 =7(14,0,-4,-2) =(7,0,-2,-1) 5 3 -1 -7 例2已知向量a%1= 3 ,3a1-402= 17 求向量2a1+3a2: -2 8

第二章 矩阵与向量 例1 设 =(1，3，-2，2) ,  = ( 5，1，-2，0 )，若 已知 +2=3，求向量 . 解:由 +2=3 得 1 (3 ) 2   = − a 1 [(15,3, 6,0) (1,3, 2,2)] 2 = − − − 1 (14,0, 4, 2) 2 = − − = − − (7,0, 2, 1) 1 1 2 1 2 5 3 1 7 2 3 4 2 3 . 3 17 2 2 4 8              − −     = − = +         −             例 已知向量 ， ，求向量

第二章矩阵与向量 3 1 解：由 3a1-4x2= -2 8 得 5 3 12 3 -1 4 1 02 3 3 17 -8 二 -2 4 1-4 2 8 2 4 8 4 1

第二章 矩阵与向量 1 2 3 7 3 4 17 2 8       −   − =     −      解：由 2 5 3 1 7 1 (3 ) 3 17 4 2 2 4 8          − −     = −         −             得 12 3 4 1 1 8 2 4 8 2 4 1             = =     − −                