《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第一章 函数与极限_1-10 闭区间上连续函数的性质

第十节 闭区间上连续岛数的性质 一、最大值最小值定理 二、介值定理

第十节 一、最大值最小值定理 二、介值定理 闭区间上连续函数的性质

一、】 最大值最小值定理 定义：对于在区间I上有定义的函数f(x)。 如果有x。∈I,使得对于任一x∈I都有 f(x)≤f(x (f(x)≥f(x) 则称f(x)是函数f(x)在区间I上的最大（小）值 例如，y=1+sinx,在[0,2π]上，ymax=2,ymn=0 y=二，在(0，)上，即无最大值也无最小值

一、最大值最小值定理 定义: 0 0 0 0 ( ), , ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) . 对于在区间 上有定义的函数 如果有 使得对于任一 都有 则称 是函数 在区间 上的最大 小 值 I f x x I x I f x f x f x f x f x f x I     例如, y x  1 sin , 在[0,2 ] , π 上 max y  2, min y  0; 1 y , x  在(0,1) , 上 即无最大值也无最小值

定理1.在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大 值和最小值， 即：设f(x)∈C[a,b],则351,52∈[a,b],使 f()=min f(x) v=f(x a≤x≤b f(52)=max f(x) a≤x≤b O as5 bx 注意：若函数在开区间上连续，或在闭区间内有间断 点，结论不一定成立

注意: 若函数在开区间上连续, 结论不一定成立 . 定理1.在闭区间上连续的函数 即: 设 f ( x)  C [ a , b ] , 1  2 则 , [ , ] , 1 2     a b 使 ( ) min ( ) 1 f f x a  x  b   ( ) max ( ) 2 f f x a  x  b   值和最小值. 或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大 点 , x y a b y  f ( x) O

例如，y=x,x∈(0,1) 无最大值和最小值 又如， -x+1,0≤x<1 f(x)= 1,x=1 -x+3,1<x≤2 也无最大值和最小值 2

例如, 无最大值和最小值 2 2 也无最大值和最小值 又如, x y 1 1 O x y O 1 1

推论在闭区间上连续的函数在该区间上有界 证：设f(x)∈C[a,b],由定理1可知有 M=max f(x),m=min f(x)y=f(x) x∈[a,b] xEla,b] M 故Vx∈[a,b],有m≤f(x)≤M, 因此f(x)在[a,b]上有界 m a552 bx 二、介值定理 定义：如果x,使f(x)=0,则x称为函数 f(x)的零点

1  2 m M 二、介值定理 由定理 1 可知有 max ( ) , [ , ] M f x x a b  min ( ) [ , ] m f x x a b  证: 设 上有界 . 推论 在闭区间上连续的函数在该区间上有界. b x y a y  f ( x) O 定义: 0 0 0 ( ) 0, ( ) . 如果 使 则 称为函数 的零点 x f x x f x 

定理2.（零点定理）f(x)∈C[a,b], 且f(a)f(b)至少有一点 5∈(a,b),使f(5)=0. 定理3.（介值定理）设f(x)∈C[a,b],且f(a)=A, f(b)=B,A≠B,则对A与B之间的任一数C,至少有 一点5∈(a,b),使f(5)=C y=f(x 证：作辅助函数p(x)=f(x)-C B 则p(x)∈C[a,b],且 p(a)p(b)=(A-C)(B-C)<0 由零点定理知，至少有一点5∈(a,b),使p(5)=0, 即f()=C

定理2. ( 零点定理 ) 且 至少有一点 使  x y a b y  f ( x) O 定理3. ( 介值定理 ) 设 f ( x)  C [ a , b ] , 且 f (a)  A, f (b)  B , A  B , 则对 A 与 B 之间的任一数 C , 一点 证: 作辅助函数  ( x)  f ( x)  C 则  ( x)  C [ a , b ] , 且  (a)  (b)  ( A  C) (B  C) 由零点定理知, 至少有一点 使 C  使 至少有 x A b y a y  f ( x) B O 即

推论：在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与 最大值之间的任何值 例1.证明方程x3-4x2+1=0在区间(0,1)内至少有 一个根 证：显然f(x)=x3-4x2+1∈C[0,1],又 f(0)=1>0,f1)=-2<0 故据零点定理，至少存在一点5∈(0，ID,使f()=0,即 53-452+1=0

推论: 在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与 最大值之间的任何值 . 例1. 证明方程 一个根 . 证: 显然 又 故据零点定理, 至少存在一点 使 即 在区间 内至少有

例2.设f(x)eC[0,2a],且f(0)=f(2a),证明至少有一点 ∈[0，a)使f()=f(+a) 证令F(x)=f(x)-f(x+a),则F(x)∈C[O,a] 且F(0)=f(0)-f(a), F(a=f(a-f(2a)=f(a)-f(0) 若f(0)=f(a),则=0即为所求； 若f(0)≠f(a),则F(0):F(a<0, 由零点定理知：至少有一点∈(0，a使F(=0, 即f()=f(5+a)

例2. ( ) [0, 2 ], (0) (2 ), [0, ) ( ) ( ). 设 且 证明至少有一点 使 f x C a f f a ξ a f ξ f ξ a      证 令F x f x f x a ( ) ( ) ( ),    则F x C a ( ) [0, ].  且F f f a (0) (0) ( ),   F a f a f a f a f ( ) ( ) (2 ) ( ) (0)     若f f a (0) ( ),  则ξ  0即为所求； 若f f a (0) ( )  ，则F F a (0) ( ) 0   ， 由零点定理知: 至少有一点ξ   (0, ) ( ) 0 a F 使 ξ ， 即f ( ) ( ). ξ   f ξ a

说明： 1.方程fx)=0的根→函数fx)的零点 2.有关闭区间上连续函数命题的证明方法： (1)直接法：利用四个定理直接证明。 (2)间接法：先作辅助函数，再利用四个定理证明 辅助函数的作法： (1)将结论中的（或x或c)改写成x, (2)移项使右边为0，令左边的式子为Fx) 则x)即为所需要的辅助函数

说明: 1. 方程 f(x)=0的根 函数 f(x)的零点 2. 有关闭区间上连续函数命题的证明方法: (1) 直接法：利用四个定理直接证明。 (2) 间接法：先作辅助函数，再利用四个定理证明。 辅助函数的作法： (1) 将结论中的ξ(或x0或c)改写成x， (2) 移项使右边为0，令左边的式子为F(x) 则F(x)即为所需要的辅助函数。 

内容小结 设f(x)∈C[a,b],则 1.f(x)在[a,b]上有界， 2.f(x)在[a,b]上达到最大值与最小值， 3.f(x)在[a,b]上可取最大与最小值之间的任何值； 4.当f(af(b<0时，必存在5∈(a,b),使f(月)=0

内容小结 在 上达到最大值与最小值; 上可取最大与最小值之间的任何值; 4. 当 时, 必存在 使 上有界; 在 在