《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第一章 函数与极限_1-4 无穷小与无穷大

第四节 无穷小与无穷大 一、 无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系

二、 无穷大 三、 无穷小与无穷大的关系 一 、无穷小 第四节 无穷小与无穷大

一、无穷小 定义1.若x→xo时，函数f(x)→0，则称函数f(x) (或x→∞) 为x→xo时的无穷小 (或x→0) 例如： lim(x-1)=0,函数x-1当x→1时为无穷小 x>1 1im=0,函数当x→o时为无穷小， x→0X lim 1- x→01-x =0,函数 一当x之-0时为无穷小

当 一、 无穷小 定义1 . 若 时, 函数 则称函数 例如 : 函数 当 时为无穷小; 函数 时为无穷小; 函数 当 (或x  ) 为 时的无穷小 . 时为无穷小. (或x  )

定义1，若x→x。(或x→0)时，函数f(x)→0，则 则称函数f(x)为x→x,(或x→0)时的无穷小 说明：除0以外任何很小的常数都不是无穷小 ●注1.必须指明自变量的变化过程 2.不要把无穷小和一个很小的数相混淆(0除外) 无穷小：（函数的绝对值）无限变小

说明: 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 ! (或 x   ) 时, 函数 则称函数 为 定义1. 若 (或 x   ) 则 时的无穷小 . 注 1.必须指明自变量的变化过程 2.不要把无穷小和一个很小的数相混淆（0除外） 无穷小：（函数的绝对值）无限变小

定理1，（无穷小与函数极限的关系） Iimf(x)=A三f(x)=A+&,其中a为x→xo x→X0 时的无穷小量 证：limf(x)=A x→X0 V6>0,38>0,当0<x-xo<6时，有 f(x)-A<6 &=fx)-4 lim a=0 x→X0 对自变量的其他变化过程类似可证

其中 为 0 x  x 时的无穷小量 . 定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 ) f x A x x   lim ( ) 0 f ( x)  A   , 证: f x A x x   lim ( ) 0   0 ,   0 , 当     0 0 x x 时,有 f (x)  A     f ( x)  A lim 0 0    x x 对自变量的其他变化过程类似可证

二、无穷大 定义2.若任给M>0,总存在8>0（正数X),使对 切满足不等式0X)的x,总有 f(x)>M ① 则称函数f(x)当x→x(x→0)时为无穷大，记作 lim f(x)=co (lim f(x)=). X->x0 r-o 若在定义中将①式改为f(x)>M(f()0

二、 无穷大 定义2 . 若任给 M > 0 , 一切满足不等式 的 x , 总有 则称函数 当 时为无穷大, 使对 若在定义中将 ①式改为 ① 则记作 ( lim ( ) ) ( ) 0     f x x x x ( x  X ) ( x   ) (lim ( ) ). x f x     (正数 X ) , 记作 ( f (x)  M ), 总存在

注意： 1.无穷大不是很大的数，它是描述函数的一种状态 2.函数为无穷大，必定无界.但反之不真！ 例如，函数f(x)=xcos x,x∈(-o,+o) f(2nπ)=2n元>0（当n→0） 但f(仍+nπ)=0 所以x→o时，f(x)不是无穷大I

注意: 1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态. 2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 ! 例如, 函数 但 不是无穷大 !

例.证明lim =00 x1x-1 证：任给正数M,要使 x-1 M,x-1M k 所以lim x→1x-1 说明：若limf(x)=oo,则直线x=xo x→x0 为曲线y=f(x)的铅直渐近线 铅直渐近线

例 . 证明 证: 任给正数 M , 要使 即 只要取 , 1 M   则对满足 的一切 x , 有 所以 若 则直线 0 x x 为曲线 的铅直渐近线 . 铅直渐近线 说明:

三、无穷小与无穷大的关系 定理2.在自变量的同一变化过程中 若f(x)为无穷大，则 为无穷小 f(x) 若f(x)为无穷小，且f(x)≠0，则 为无穷大 f(x) 说明：据此定理，关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论

三、无穷小与无穷大的关系 若 为无穷大, ( ) 1 f x 为无穷小 ; 若 为无穷小, 且 f (x)  0, 则 ( ) 1 f x 为无穷大. 则 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论. 定理2. 在自变量的同一变化过程中, 说明:

内容小结 1.无穷小与无穷大的定义 2.无穷小与函数极限的关系 3.无穷小与无穷大的关系 思考与练习 P37题1 作业 P37*2(2);4(1);8

内容小结 1. 无穷小与无穷大的定义 2. 无穷小与函数极限的关系 3. 无穷小与无穷大的关系 思考与练习 P37 题1 作业 P37 *2 (2) ; 4 (1) ; 8