《线性代数》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章 矩阵的运算 3-2 逆矩阵

第三章矩阵的运算 §3.2 逆矩阵 一、 概念的引入 二、 逆矩阵概念与性质 三、典型例题

第三章 矩阵的运算 §3.2 逆矩阵 一、概念的引入 二、逆矩阵概念与性质 三、典型例题

第三章矩阵的运算 概念的引入 在数的运算中，当数≠0时，有 aa =aa=1, 其中=1 为a的倒数，（或称a的逆)； 在矩阵的运算中，单位阵E相当于数的乘法运算 中的1，那么，对于矩阵A,如果存在一个矩阵A1, 使得 AA-=AA=E, 则矩阵A称为A的可逆矩阵或逆阵

第三章 矩阵的运算 , 1 1 AA = A A = E − − 则矩阵 称为 A 的可逆矩阵或逆阵. −1 A 1, 1 1 = = − − aa a a 在数的运算中，当数 a  0 时，有 a a 1 1 = 其中 − 为 a 的倒数，（或称 a 的逆）； 在矩阵的运算中，单位阵E相当于数的乘法运算 中的1，那么，对于矩阵A，如果存在一个矩阵A -1 , 使得 一、概念的引入

第三章矩阵的运算 二、逆矩阵的概念与性质 定义一：设A是一个n阶方阵，若存在n阶方阵B, 使得 AB=BA=E 则称A可逆的，并称B为A的逆矩阵 如4[a=[3 有AB=BA=E,所以A与B互为逆阵

第三章 矩阵的运算 定义一： 设A是一个n阶方阵，若存在n阶方阵B， 使得 AB = BA = E 则称 A 可逆的，并称B 为 A 的逆矩阵. 二、逆矩阵的概念与性质 1 2 5 2 , 2 5 2 1 A B     − = =         − 例如 有AB = BA = E ，所以A 与 B 互为逆阵

第三章矩阵的运算 说明若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的 若设B和C是A的可逆矩阵，则有 AB=BA=E,AC=CA=E, 可得B=EB=(CA)B=C(AB)=CE=C. 所以A的逆矩阵是唯一的，记作A1 B=C=A-

第三章 矩阵的运算 说明 若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的. 若设B和C是A的可逆矩阵，则有 AB = BA = E, AC = CA = E, 可得 B = EB = (CA)B = C(AB) = CE = C. 所以A的逆矩阵是唯一的,记作A -1 1 B C A . − = =

第三章矩阵的运算 定义二： 1 12 。 设 A= u21 22 。 An An2 我们构造矩阵 Au A20 A n2 称为A的伴随矩阵， A nn

第三章 矩阵的运算 我们构造矩阵 11 21 1 * 12 22 2 1 2 n n n n nn A A A A A A A A A A       =       称为 A 的伴随矩阵. 设 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a A a a a       =       定义二：

第三章矩阵的运算 由于 4+a42++n4n=1i=j 0i≠ 可6*- 0. 0 0 0 AA=A'A= |A. =AE 00 只要A0,就有4（有A)=(有AA=B

第三章 矩阵的运算 可得： * * | | 0 0 0 | | 0 0 0 | | A A AA A A A E A     = = =         1 1 2 2 1 1 2 2 0 0 i j i j in jn i j i j ni nj A i j a A a A a A i j A i j a A a A a A i j  = + + + =    = + + + =   由于 1 1 * * A A A A A E 0 ( ) ( ) A A 只 要  = = ，就有

第三章矩阵的运算 定理3.2.1（可逆的充分必要条件） 阶方阵A可逆A≠0，而且A A 证明 "="(充分) 已证 "→"（必要） 若A可逆，则存在A1,使得AA1=E 两边取行列式，得|AA1曰A‖A1曰E=1 所以 |A≠0

第三章 矩阵的运算 定理3.2.1（可逆的充分必要条件） . | | 1 | | 0 −1    = A A n阶方阵A可逆 A ，而且A 证明 ""(充分) 已证. ""(必要) 1 1 A A AA E − − 若 可逆，则存在 ，使得 = 两边取行列式，得 1 1 | | | || | | | 1 AA A A E − − = = = 所以 | A| 0

第三章矩阵的运算 推论 若A是n阶矩阵，且存在n阶矩阵B,使 AB=E或BA=E 则A可逆，且B为A的逆矩阵 证明： 设AB=E 则|AB=A‖B=E=1 所以|A≠0，由定理可知，A可逆， 设其逆矩阵为A1,则有 B=EB=(A-A)B=A-(AB=A-E=A- 同理可证，若BA=E,则B=A1

第三章 矩阵的运算 推论 若A是n阶矩阵，且存在n阶矩阵B，使 AB=E 或 BA=E 则A可逆，且B为A的逆矩阵. 证明： 设AB=E 则 | | | || | | | 1 AB A B E = = = 所以 | | 0, A  由定理可知，A可逆. 设其逆矩阵为A -1 ,则有 B EB = = 1 ( ) A A B − 1 A AB ( ) − = 1 A E− = 同理可证，若BA=E，则 1 B A . − = 1 A − =

第三章矩阵的运算 12-1 例1判断A= 3 1 0 是否可逆？若可逆，求其逆矩阵 -1 0 -2 解： 由于A=9≠0，故A可逆，又 A1=-2,A21=4,A31=4, A12=-2,A22=-3,A32=-3 A13=1,A23=-2,A33=-5, 4 1 于是 9 9 -2 4 1 2 1 -3 -3 3 3 3 -2 -5 1 2 0

第三章 矩阵的运算 1 2 1 1 3 1 0 . 1 0 2 A   −   =       − − 例 判断 是否可逆？若可逆，求其逆矩阵 解： 由于 A =  9 0， 故 A 可逆，又 A11=-2， A21=4， A31=4， A12=-2， A22=-3， A32=-3 A13=1， A23=-2 ， A33=-5 ， 于是 1 * 2 4 1 1 1 6 3 3 9 1 2 5 A A A −   −   = = − −       − − 2 4 1 9 9 9 2 1 1 3 3 3 1 2 5 9 9 9   −      = − −       − −    

第三章矩阵的运算 逆矩阵的性质 (1)若A可逆，则A,A'亦可逆，且 (A)=A,(A)1=(A) (2)若A可逆，数1≠0，则2A可逆，且 (A=4 (3)若A,B均可逆，则AB亦可逆，且 (AB)1=B1A1

第三章 矩阵的运算 逆矩阵的性质 ( ) 1 1 1 1 1 1 , , , ( ) , ( ) ( ) . A A A A A A A − − − − −  = =   若 可 逆 则 亦 可 逆 且 ( ) ( ) 1 1 2 , 0, , 1 . A A A A     − − = 若 可 逆 数 则 可 逆 且 ( ) 1 1 1 3 , , , ( ) A B AB AB B A − − − = 若 均 可 逆 则 亦 可 逆 且