《线性代数》课程教学资源（PPT课件讲稿）第二章 矩阵与向量 2-4 矩阵的秩

第二章矩阵与向量 §2.4矩阵的秩 矩阵的行（列秩、秩 矩阵秩与向量组的极 三 送组、秩的求法 小

第二章 矩阵与向量 §2.4 矩阵的秩 一、 矩阵的行(列)秩、秩 二、 矩阵秩与向量组的极 大 三、 k阶子式无关组、秩的求法 四、 小结

第二章矩阵与向量 、 矩阵的行（列）秩、秩 定义2.4.1设m×n矩阵A,称A的行向量组的秩称为 矩阵A的行秩，列向量组的秩称为矩阵A的列秩 é101d 例1求矩晖A三01 2的行秩和列秩。 2 1 4 解：A的行向量a1=(1,0,1),02=(0,1,2),43=(2,1,4) 101 由行列式012=0，知向量组a1,42,a3线性相关， 214

第二章 矩阵与向量 定义2.4.1 设m×n矩阵A，称A 的行向量组的秩称为 矩阵A的行秩，列向量组的秩称为矩阵A的列秩. 一、矩阵的行(列)秩、秩 解：

第二章矩阵与向量 又a1,4,线性无关，故a1,a,是A的行向量组的一个 最大无关组，所以矩阵A的行秩等于2. 同样方法可以求出A的列秩等于2. 1131ù 例2求矩阵A=0 2-1 4的行秩和列秩. 0 0 51 解： A的行向量a1=(1,1,3,1),42=(0,2,-1,4), a3=(0,0,0,5). 去掉第三个分量的a=(1,1,1),a=(0,2,4), a=(0,0,5)

第二章 矩阵与向量 同样方法可以求出A的列秩等于2. 解：

第二章矩阵与向量 1 由行列式024 =1010,知向量组agaa线性无关， 005 由§2.3例5知，向量组a1,a2,43也线性无关， 所以A的行秩为3. 1ù 1ù e3ù 1ù 的列向量组b,= b2 e21 色2ú b3= b4= 8 0日 01 0 51 4个三维向量必线性相关，而其中BB3线性无关

第二章 矩阵与向量 4个三维向量必线性相关，而其中β1β2β3线性无关

第二章矩阵与向量 因为 1 0 1 20 =1010 4 5 所以A的列秩也等于3. 例1和例2中矩阵的行秩等于列秩并非是偶然的. 为了证明这一点，我们有以下两个定理。 定理2.4.1初等行（列变换不改变矩阵的行（列秩。 定理2.4.2初等行（列变换不改变矩阵列（行）向量间 的线性关系

第二章 矩阵与向量 因为 所以A的列秩也等于3. 例1和例2中矩阵的行秩等于列秩并非是偶然的. 为了证明这一点，我们有以下两个定理. 定理2.4.1 初等行(列)变换不改变矩阵的行(列)秩. 定理2.4.2 初等行(列)变换不改变矩阵列(行)向量间 的线性关系

第二章矩阵与向量 el 0ù 例3设矩阵A= 2-1 其列向量 6024ǘ u1,42,43,04间有线性关系：04=a1+22-03, 矩阵B由矩阵A经过有限次初等行变换得到. 验证B的列向量b1,b2,b3,b,间也有线性关系 b4=b1+2b2-b3

第二章 矩阵与向量

第二章矩阵与向量 解：对矩阵4A作初等行变换如下： 11 3 0ù el 1 3 0i 3-6 +3r2 A 2 -1 ú 2 -1 5 u ú 0 -6 -16 4ǖ 0 0 -19 191 1 3 0 ù 1 1 0 3 3ùd 19 r-331 2 -1 5 i 2 0 4 2+53 0 0 -1 0 0 1 -1

第二章 矩阵与向量 解：对矩阵A作初等行变换如下 ：

第二章矩阵与向量 ,11 1 3ù el 0 0 1ù 1 0 1-e 1 02日B 0 01 -1 001-1 容易看出，B的列向量b1,b2,b3,b,间也有 线性关系b4=b1+2b2-b3 推论初等行（列变换不改变矩阵的列（行）秩

第二章 矩阵与向量 推论 初等行(列)变换不改变矩阵的列(行)秩

第二章矩阵与向量 定理2.4.3矩阵的行秩等于列秩 证：由于x矩阵A总可以经过有限次初等变换化 为标准形 el 0 4 0 0 4 0ù 1 4 0 0 4 0 eva 4 4 4 h 4 4ú I=&0 0 0 4 0 第r行 0 4 0 0 4 e 4 4 4 4 4 4 u 0 0 4 0 0 h 0日 第r列 而矩阵的行秩和列秩都等于r,根据定理2.4.1及定 理2.4.2的推论知，对A进行初等行变换和初等列变换， 它的行秩和列秩都不改变，所以A的行秩和列秩都应 等于，即A的行秩等于列秩

第二章 矩阵与向量 定理2.4.3 矩阵的行秩等于列秩. 证：由于m×n矩阵A总可以经过有限次初等变换化 为标准形 而矩阵I的行秩和列秩都等于r，根据定理2.4.1及定 理2.4.2的推论知，对A进行初等行变换和初等列变换， 它的行秩和列秩都不改变，所以A的行秩和列秩都应 等于r，即A的行秩等于列秩

第二章矩阵与向量 定义2.4.2 矩阵A的行秩和列秩，统称为矩阵A的秩， 记为R(A). 对于m'n矩阵A,显然R(A)满足条件： 0￡R(A)￡min{m,n}.若A为n阶方阵，且 R()=L,则称A为满秩矩阵。 推论若矩阵A~B,则R(A)=R(B). 推论给出了用初等变换求矩阵秩的方法：将已知 矩阵A化为阶梯形矩阵后，阶梯形矩阵的非零行数就 是A的秩

第二章 矩阵与向量 定义2.4.2 矩阵A的行秩和列秩，统称为矩阵A的秩， 记为R(A). 推论给出了用初等变换求矩阵秩的方法：将已知 矩阵A化为阶梯形矩阵后，阶梯形矩阵的非零行数就 是A的秩