《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，C）n阶行列式的定义

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第一节 n 阶行列式的定义

二阶与三阶行列式 用消元法解二元（一次）线性方程组： aux+a2x2=b () (1.1) 021x1+022x2=b, (2) (1)×022: 1122x1+ 12422x2fb1422, (2)×L12: 12421x1十a12a22X2fb2012, 两式相减消去x2,得 (11022-41221)X1=b122-b2412;

用消元法解二元(一次)线性方程组: 一、 二阶与三阶行列式    + = + = (2) (1) 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b (1.1) (1)a22: a11a22x1 + a12a22x2 = b1a22, (2)a12: a12a21x1 + a12a22x2 = b2a12, 两式相减消去x2 , 得 (a11a22 – a12a21) x1 = b1a22 – b2a12;

类似地，消去x,得 (a11422-41221）x2=b2411-b1a21 当(a11422-01221)≠0时，方程组的解为： b1422-412b2 七，=4b-641 41022-41242 1122-122D 由方程组(1)的四个系数确定 为方便记忆，我们引入二阶行列式 D- a11a12 a11a22-a412021 (1) a21 a22 其中元素a,的第一个下标i为行指标，第二个下标j为 列指标。即a,位于行列式的第i行第j列

11 22 12 21 1 22 12 2 1 a a a a b a a b x − − = 11 22 12 21 11 2 1 21 2 a a a a a b b a x − − = 当(a11a22 – a12a21)  0时, 方程组的解为: 由方程组(1)的四个系数确定 类似地, 消去x1 , 得 (a11a22 – a12a21) x2 = b2a11 – b1a21; 为方便记忆，我们引入二阶行列式 (1) 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 a a a a a a a a D = = − 其中元素 aij 的第一个下标 i 为行指标，第二个下标 j 为 列指标。即 aij位于行列式的第 i 行第 j 列

墨 D 11 12 L1122-012021 021 22 二阶行列式的计算 对角线法则 主对角线 41122-012021 副对角线 对于二元线性方程组 k1t012水2=b (1.1) 凸21222=b2 22

21 22 11 12 a a a a 21 22 11 12 a a a a D = = a11a22 – a12a21 即 主对角线 副对角线 二阶行列式的计算——对角线法则 = a11a22 – a12a21 对于二元线性方程组 D称为线性方程组(1.1)的系数行列式.    + = + = 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b 21 22 11 12 a a a a 若记 D = (1.1)

41x1+412x2b 4211+22X2 a21X1+22X2 D 2 D l22 12 b, 测该二元线性方程组的解为 411b2-b121 且n X1= b122-a12b2 X2 (3) 41122-412021 11422-1421 12 411 D= b, 2 D2 21 b, D 1 X2= L12 D 11 12 L21 L22 L21 L22 注意：分母都为原方程组的系数行列式 回

21 22 11 12 a a a a D =    + = + = 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b 2 22 1 12 1 b a b a D = 21 22 11 12 a a a a D =    + = + = 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b 12 2 11 1 2 a b a b D = , 21 22 11 12 2 22 1 12 1 1 a a a a b a b a D D x = = 注意: 分母都为原方程组的系数行列式. . 21 22 11 12 21 2 11 1 2 2 a a a a a b a b D D x = = 则该二元线性方程组的解为 11 22 12 21 1 22 12 2 1 a a a a b a a b x − − = 11 22 12 21 11 2 1 21 2 a a a a a b b a x − − = (3) 表示为:

练习：解二元线性方程组 3x1-2x2=12 2x+x2=11 解： D= 3-2 21 =3-(4)=7+0, D,= 12 =-21, 14 X1= D. -21-3. D 7 上页

. 2 1 3 2 12 1 2 1 2    + = − = x x x x 2 1 3 − 2 D = 1 1 12 2 1 − D = = 14, 2 1 3 12 D2 = = −21, D D x 1  1 = 2, 7 14 = = D D x 2 2 = 3. 7 21 = − − = 练习: 解二元线性方程组 解: = 3 – (–4) = 7  0

三阶行列式 用高斯消元法，解三元一次线性方程组 a11+a12x2+a3x3=b a21X+a22X2+a23x3=b2, (1.2) a31+a32x2+a33x3=b 也可以得到类似二元一次线性方程组的结果。 即如果引入三阶行列式 11 412 13 D 421 42 23 031 32 33 列标 行标 上页 这回

用高斯消元法，解三元一次线性方程组 也可以得到类似二元一次线性方程组的结果。 （1.2） 三阶行列式 列标 行标 即如果引入三阶行列式

则当（1.2) 的所有行列式 du 12 413 6 a12 a D= L22 a23 ≠0 D- b, a22 32 133 b, 432 a33 b a13 a11 a12 b D2 5% b2 a23 D3= a21 a22 a31 b a33 a32 方程组(1.2)的解可以用三阶行列式表示为

11 12 13 21 22 23 31 32 33 0 a a a D a a a a a a =  方程组（1.2）的解可以用三阶行列式表示为 , , . 3 3 2 2 1 1 D D x D D x D D x = = = 3 32 33 2 22 23 1 12 13 1 b a a b a a b a a D = 31 3 33 21 2 23 11 1 13 2 a b a a b a a b a D = 31 32 3 21 22 2 11 12 1 3 a a b a a b a a b D = 则当（1.2）的所有行列式

三阶行列式的计算 (1)对角线法则 =41122433+41223031+013421032 13223厂012L21L334112332: 注意：红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元 素的乘积冠以负号. 说明1.对角线法则只适用于二阶与三阶行列式 说明2.三阶行列式包括3！项，每一项都是位于不 回

三阶行列式的计算 11 22 33 = a a a . 11 23 32 − a a a (1)对角线法则 13 21 32 + a a a 12 23 31 + a a a 13 22 31 − a a a 12 21 33 − a a a 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a 说明2. 三阶行列式包括3!项, 每一项都是位于不 同行, 不同列的三个元素的乘积, 其中三项为正, 三项 为负. 注意:红线上三元素的乘积冠以正号, 蓝线上三元 素的乘积冠以负号． 说明1. 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．

例1：计算三阶行列式 解：按对角线法则，有 D=1×2×(-2)+2×1x(-3)+(-4)×(-2)×4 -(-4)×2×(-3)-2×(-2)×(-2)-1×1×4 =-4-6+32-24-8-4=-14 练习： a b c b c =3abc-a3-b3-c3. e a b 上页

. 3 4 2 2 2 1 1 2 4 - - - - 例1: 计算三阶行列式 D = 解: 按对角线法则, 有 D = 12(–2) + 21(–3) + (–4)(–2)4 – (–4)2(–3) – 2(–2)(–2) – 114 = –4 – 6 + 32 – 24 – 8 – 4 = –14 练习： abc b c a c a b 3 3 3 = − − − 3 . abc a b c