《线性代数》课程教学资源（PPT课件讲稿）第二章 矩阵与向量 2-3 向量组的线性相关性

二章矩阵与向量 §2.3 向量组的线性相关性 线性相关性的概念 线性相关性的判定 三、 向量组的等价 四、向量组的最大无关组 五、向量空间的基与向量的坐标 六、小结

第二章 矩阵与向量 六、小结 二、线性相关性的判定 一、线性相关性的概念 §2.3 向量组的线性相关性 五、向量空间的基与向量的坐标 三、向量组的等价 四、向量组的最大无关组

第二章矩阵与向量 线性相关与线性无关的概念 1、基本概念 定义一：若干个同维数的列向量（或同维 数的行向量)所组成的集合叫做向量组. 例如矩阵A=(ai)有n个m维列向量 1 2 aj r L11 L12 L21 L22 a2 A= 。 am2 向量组1,2， m称为矩阵A的列向量组

第二章 矩阵与向量 一、线性相关与线性无关的概念 定义一：若干个同维数的列向量（或同维 数的行向量）所组成的集合叫做向量组． 例如 矩阵A = (aij) mn 有n个m维列向量               = a a a a a a a a a a a a A m m mj mn j n j n             1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 a1 向量组 a1, a2 ,  , an 称为矩阵A的列向量组. 1、基本概念 a1 aa22 a j aann

公心第二章矩阵与向量 定义二：对于向量%1，%，am和a,若存在个数 九1,2，·，m,使得： a=1a1+2a2+.+2mm 则称g是C1,2,am的线性组合，1,2，.，2m称为组 合系数，或称向量a能用向量组1，%2，m线性表示. 注释： (1)零向量是任何一组向量的线性组合. (2)若立=kB,则称两个向量成比例。 (3)向量组中每一个向量都可以由该向量组线性表示

第二章 矩阵与向量 定义二： 对于向量1 ,2 ,., m 和，若存在m个数 1 ,2 ,. ,m ，使得：  = 11 + 22 + .+ mm 则称是1 ,2 ,.,m 的线性组合，1 ,2 ,. ,m 称为组 合系数,或称向量能用向量组1 ,2 ,.,m线性表示 . （1）零向量是任何一组向量的线性组合 . 注释： （2）若   = k ，则称两个向量成比例。 （3）向量组中每一个向量都可以由该向量组线性表示

第二章矩阵与向量 例1设n维向量 61=(1,0,.,0) 62=(0,1,.,0) 6n=(0,0,.,1) a=(a1,a2,an)是任意一个n维向量，由于 a=M181+262+.+0n8m 所以a是61,62，8n的线性组合. 通常称61,62，.，6n为n维单位坐标向量组

第二章 矩阵与向量 1 2 1 2 1 (1,0, ,0) (0,1, ,0) (0,0, ,1) ( , , , ) n n n a a a n     =  =  =  =  例 设 维向量 是任意一个 维向量，由于 1 1 2 2 1 2 , , , . n n n     a a a     = + ++ 所以 是  的线性组合 通常称 1 2 , , , n     为n维单位坐标向量组

公第二章矩阵与向量 例2证明向量a=(0,4,2)是向量1=(1,2,3) 02=(2,3,1),3=(3,1,2)的线性组合，并将 用a,a2,a,线性表示. 解：先假定a=2,+a2+九c3?即 (0,4,2)=2(1,2,3)+元(2,3,1)+2(3,1,2) =(2+222+323,22+322+23,32+几2+223) 因此 2+222+323=0, 22+322+23=4, 32+九2+2λ3=2

第二章 矩阵与向量 1 2 3 1 2 3 2 (0,4,2) (1,2,3) (2,3,1) (3,1,2) , , .         = = = = 例 证明向量 是向量 ， ， 的线性组合，并将 用 线性表示 1 2 3 (0,4,2) (1,2,3) (2,3,1) (3,1,2) = + +    1 2 3 1 2 3 1 2 3 = + + + + + + ( 2 3 ,2 3 ,3 2 )          因此 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 0, 2 3 4, 3 2 2.           + + =   + + =  + + =  解：先假定        = + + 1 1 2 2 3 3， 即

公公》第二章矩阵与向量 由于该线性方程组的系数行列式 2 3 23 1=-18≠0， 3 1 2 由克拉默法则知，方程组有唯一的解，可以求出 九=1,22=1，入3=-1 于是a可表示为C=01+02一03

第二章 矩阵与向量 由于该线性方程组的系数行列式 1 2 3 2 3 1 18 0, 3 1 2 = −  由克拉默法则知，方程组有唯一的解，可以求出 1 2 3    = = = − 1, 1, 1 于是可表示为     = + − 1 2 3

之公之公第二章矩阵与向量 注：a与41,2，am必为且仅为一下三种情 形之一： 10a可由c,0m的线性表示，且表达式唯一； 2a可由a,m的线性表示，但表达式不唯一 30a不能由%，2，am的线性表示. 对于元线性方程组(2-8)若以a表示其中第个未知 量的系数构成的m维列向量，即 j 02j i=1,2,.,n

第二章 矩阵与向量 注： 与1 ,2 ,., m必为且仅为一下三种情 形之一： 1 0 可由1 ,2 ,.,m的线性表示，且表达式唯一； 2 0可由1 ,2 ,.,m的线性表示，但表达式不唯一； 3 0不能由1 ,2 ,.,m的线性表示. 对于n元线性方程组(2-8)若以j表示其中第j个未知 量的系数构成的m维列向量，即 1 2 1, 2, , j j j m j a a j n a        = =        

第二章矩阵与向量 且令 4 B= b2 b. 那么，方程组(2-8)可以表示为 X11+x202+.+XnCn=B 于是，方程组(2-8)有没有解的问题就转化为向 量能否由向量%1,2，am线性表示.当能由向量 41,2,am线性表示且表达式唯一时，方程组(2-8) 有解且解唯一

第二章 矩阵与向量 1 2 m b b b        =        且令 那么，方程组(2-8)可以表示为 1 1 2 2 n n x x x     + ++ = 于是，方程组(2-8)有没有解的问题就转化为向 量能否由向量1 ,2 ,., m线性表示.当能由向量 1 ,2 ,., m线性表示且表达式唯一时,方程组(2-8) 有解且解唯一

第二章矩阵与向量 定义三： 设n维向量组 01,C2y0m’ 如果存在不全为0的m个数k1,2,.,km,使得 k1a1+k22+.+kmCm=0 则称向量组1,2，Cm线性相关，否则称它们线性无关. 注：a1,2,an线性无关，就是 k141+k22+.+kmCm=0<k1=k2=.=km=0

第二章 矩阵与向量 定义三： 设n维向量组 1 , 2 ,., m ， 如果存在不全为0 的m 个数k1，k2，.，km，使得 k11 + k22 + .+ kmm = 0 注： 1 ,2 ,.,m 线性无关,就是 k11 + k22 + .+ kmm = 0 k1 = k2 = . = km= 0 则称向量组1 ,2 ,.,m 线性相关,否则称它们线性无关

第二章矩阵与向量 注释： ()对于一个向量组，不是线性相关就是线性无关； (2)只有一个向量a的向量组线性相关的充要条件是a=0; (3)含有零向量的向量组必线性相关 (4)如果向量组a1,2,nm中有某两个向量4=g(), 那么向量组1,2，nm线性相关； (⑤)与B线性相关的充要条件是两向量成比例： (6)在一个向量组41，必2，m中，任取若干个向量组 成的向量组，叫%，2，m的部分向量组，简称部分组

第二章 矩阵与向量 注释： (2)只有一个向量的向量组线性相关的充要条件是=0; (4)如果向量组1 ,2 ,.,m中有某两个向量i=j (i≠j) ， 那么向量组1 ,2 ,.,m线性相关; (3)含有零向量的向量组必线性相关. （6）在一个向量组1 ,2 ,.,m中，任取若干个向量组 成的向量组，叫1 ,2 ,.,m的部分向量组，简称部分组. (1)对于一个向量组，不是线性相关就是线性无关; (5)  与  线性相关的充要条件是两向量成比例；