《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，C）消元法与矩阵的初等变换

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2.1 消元法与矩阵的初等变换

一、消元法解线性方程组 分析：用消元法解下列方程组的过程 引例 求解线性方程组 2x1-x2-x3+x4=2, x1+x2-2x3+x4=4, 4x1-6x2+2x3-2x4=4, ③÷2 () 3x1+6x2-9x3+7x4=9,④

引例 (1) 一、消元法解线性方程组 求解线性方程组        + − + = − + − = + − + = − − + = 3 6 9 7 9, 4 6 2 2 4, 2 4, 2 2, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x x 1 3 4 2 分析：用消元法解下列方程组的过程．  2

解 X1+X2-2x3+x4=4, ① ①←>② 21-x2-X3+x4=2, ② (1) (B) ③÷2 2x1-3x2+x3-x4=2, 3x1+6x2-9x3+7x4=9,④ x1+x2-2x3+x4=4, ① ②-③ 2x2-2x3+2x4=0 )-20 ② 5x2+53-3x4=-6, ④-3① 3 (B2) 3x2-3x3+4x4=3, ④

解 ( ) (1) B1 ( ) B2   2 1 3 2        + − + = − + − = − − + = + − + = 3 6 9 7 9, 2 3 2, 2 2, 2 4, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x x 1 3 4 2 2 − 3 3 − 2 1 4 − 3 1  + − + = ,       1 2 3 4 x x x x 2 4 1 3 4 2 2 2 2 0 x x x 2 3 4 − + = − + − = − , 2 3 4 5 5 3 6 xxx − + = − , 2 3 4 3 3 4 3 xxx

2*2 x1+x2-2x3+4=4, ① x2-x3+x4=0 ② -5x2+5x3-3x4=-6, (B3) 3x2-3x3+4x4=-3, ④ x1+x2-2x3+x4=4, ① ③+52 x2-x3+x4=0, ② (B4) ④-3② 2x4=-6, ③ x4=-3, ④ 上页

3 ( ) B  + − + = ,       1 2 3 4 x x x x 2 4 1 3 4 2 x x x 2 3 4 − + = 0 − + − = − , 2 3 4 5 5 3 6 xxx − + = − , 2 3 4 3 3 4 3 xxx 2 2 1  4 ( ) B  + − + = ,       1 2 3 4 x x x x 2 4 1 3 4 + 5 2 3 2 4 − 3 2 − + = , 2 3 4 x x x 0 = − , 4 2 6 x = − , 4 x 3

X1+x2-2x3+x4=4, ① ③←→④ x3+x4=0, ② (B) ④-2③ =-3 3 0=0, ④ 用“回代”的方法求出解： x1=x3+4 于是解得x2=5+3其中x,为任意取值 x4=-3 上页 区回

5 ( ) B  + − + = ,       1 2 3 4 x x x x 2 4 3  4 4 − 2 3 用“回代”的方法求出解： − + = , 2 3 4 x x x 0 = − , 4 x 3 0 0 = , 1 3 4 2 于是解得      = − = + = + 3 3 4 4 2 3 1 3 x x x x x . 其中x3为任意取值

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小结： 1.上述解方程组的方法称为消元法. 2.始终把方程组看作一个整体变形，用到如 下三种变换 (1)交换方程次序； (①与①相互替换) (2)以不等于0的数乘某个方程； (以①×k替换①) (3)一个方程加上另一个方程的倍. (以①+k①替换@) 以上这三种变换是初等变换 上页 返回

小结： 1．上述解方程组的方法称为消元法． 2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如 下三种变换 （1）交换方程次序； （2）以不等于０的数乘某个方程； （3）一个方程加上另一个方程的k倍． （ i 与 j 相互替换） （以 i  k 替换 i ） （以 i + k j 替换 i ） 以上这三种变换是初等变换．

二、矩阵的定义 由m×n个数ag(i=1,2,m;j=1,2,.,nm) 排成的n行n列的数表 11% 12 21 L22 Am 1 Am2 称为m×n矩阵.简称m×n矩阵.记作 上页

二、矩阵的定义 由 个数 排成的 行 列的数表 m n m n a (i m j n) ij = 1,2,  , ; = 1,2,  , m m mn n n a a a a a a a a a       1 2 21 22 2 11 12 1 称为 mn 矩阵.简称 m  n 矩阵. 记作

L12 元素 A= L21 L22 行标 列标 am 简记为A=Axn=(a与)nn=(a,》 元素是实数的矩阵称为实矩阵 元素是复数的矩阵称为复矩阵 上页 这回

              = m m mn n n a a a a a a a a a A        1 1 21 22 2 11 12 1 简记为 ( ) ( ). ij m n A = Am n = aij = a   元素是实数的矩阵称为实矩阵, 元素是复数的矩阵称为复矩阵. 元素 行标 列标

例如 03 5 -964 3 是一个2×4实矩阵， 13 6 2i 2 是一个3×3复矩阵， 22 2. 2 是一个3×1矩阵， (2359) (4) 是一个1×4矩阵， 是一个1×1矩阵

例如       − 9 6 4 3 1 0 3 5 是一个 24 实矩阵,           2 2 2 2 2 2 13 6 2i 是一个 33 复矩阵,           4 2 1 是一个 31 矩阵, (2 3 5 9) 是一个 14 矩阵, (4) 是一个 11 矩阵