《线性代数》课程教学课件（讲稿，B）第二章_2.3向量组的线性关系

S2.3 向量组的线性相关性 一、线性组合 二、线性相关和线性无关 三、向量组的等价 四、向量组的最大无关组和秩 五、向量空间的基与向量的坐标

§2.3 向量组的线性相关性 一、线性组合 二、线性相关和线性无关 三、向量组的等价 四、向量组的最大无关组和秩 五、向量空间的基与向量的坐标

一、线性组合 在向量线性运算的基础上，讨论向量之间的关系. 1.定义2.3.1对于向量口1，口2，口m和口，若存 在m 个数口1，口2.，口m’使得： 0=001+0202+.+0m0m 则称口是口1，口2，口m的线性组合，口1，口2. 或者称向量口可由向量组口1，口2，口m线性表 酴系教零向量是任何一组向量组的线性组合

一、线性组合 在向量线性运算的基础上,讨论向量之间的关系. 1.定义2.3.1 对于向量￾ 1 ,￾ 2 ,., ￾ m 和￾ ，若存 在m 个数￾ 1 ,￾ 2 ,. ,￾ m ，使得： ￾ = ￾ 1￾ 1 + ￾ 2￾ 2 + .+ ￾ m￾ m 则称￾ 是￾ 1 ,￾ 2 ,.,￾ m 的线性组合，￾ 1 ,￾ 2 ,. ,￾ m 称 为说明： 组合系数(1)零向量是任何一组向量组的线性组合 。 . 或者称向量￾ 可由向量组￾ 1 ,￾ 2 ,.,￾ m 线性表 示

例1设n维向量 e1=(1,0,4,0) e2=(0,1,4,0) LLLLLL en=(0,0,4,1) 4=(a1,2,4,4n)是任意一个n维向量，由于 a =(a,aL ,a)=ae+aez+age;+L +a,en 运常称e1,e2,4,en为n雅单位生标向量组. (2)任一维向量a可由维单位坐标向量组e1,e2,L,em 线性表示出来

通常称 为n维单位坐标向量组

2.向量a能否由向量组a1,L,am线性表出可转化 为线性方程组有没有解的问题. x a+xa2+74+x an=b 9 i e/Gj=L2L,n 仓4i gwǘ i4x+42火3+比+a4wx,=b ebù 马+a25+L+ax,=b LLLLLLLLL (* b= ú amx +anex+L+amn=bm

①)b可由向量组a1,a,La,线性表示0线性方程组(*) 有解 (2)b不能由向量a1,a2La,线性表示0线性方程组(*) 无解 3.一般地，b与a1,a,L,的关系为下列三种情况之一 (I)b可由a1L,am线性表示，且表示法唯一。 (2)b可由a1L,4线性表示，但表示法不唯一。 (3)b不能由a1L,am线性表示

例题2判断向量a=(0,4,2)是否是向量组a1=(1,2,3), a2=(2,3,1),a3=(3,1,2的线性组合？ 解：先假定a=141+1242+1343,即 (0,4,2)=11(1,2,3)+12(2,3,1)+13(3,1,2) =(11+212+313,21,+312+13311+12+2l3) 因此 i11+2l2+313=0, 121,+312+13=4, 311+12+2l3=2

因此 解：先假定 即

由于该线性方程组的系数行列式 123 231 =-1810, 312 由克拉默法则知，方程组有唯一的解，可以求出 11=1,12=1,13=-1 于是口可表示 为 a=a1+u2-a3

由于该线性方程组的系数行列式 由克拉默法则知，方程组有唯一的解，可以求出 于是￾ 可表示 为

二、线性相关和线性无关 1.定义2.3.2 设n维向量组口1，口2，口m,如果 存在不全为0的m个数k1,k2,.,km,使得 k101+k2☐2+.+km口m=0 则称向量组口1，口2，口m线性相关，否则称它们线性 无关 由定义知一个向量组要么线性相关，要么线性无关。 根据定义2.3.2，可以直接得到以下结论：

1.定义2.3.2 设n维向量组￾ 1 , ￾ 2 ,., ￾ m ，如果 存在不全为0 的m 个数k1，k2，. ，km，使得 k1￾ 1 + k2￾ 2 + .+ km￾ m = 0 则称向量组￾ 1 ,￾ 2 ,.,￾ m 线性相关,否则称它们线性 无关. 二、线性相关和线性无关 由定义知一个向量组要么线性相关，要么线性无关。 根据定义2.3.2，可以直接得到以下结论:

出東香皇叠的向兵组必线佛帮季 韦宥枲两个向量 口=k0, ()，对应成比例，那么向量组口1，口2，口m线 性 想春量组的一个部分组线性相关，那么这向量组线 性相关.其逆否命题是：线性无关向量组的任意一个 部分组也是线性无关的. (④)只有一个向量口的向量组线性相关的充要条件是 ☐=0；

(4)只有一个向量￾ 的向量组线性相关的充要条件是 ￾ =0; (2)如果向量组￾ 1 ,￾ 2 ,.,￾ m中有某两个向量 ￾ i=k￾ j (i≠j) ，对应成比例，那么向量组￾ 1 ,￾ 2 ,.,￾ m线 性 相关 ; (1)含有零向量的向量组必线性相关. (3)向量组的一个部分组线性相关，那么这向量组线 性相关.其逆否命题是：线性无关向量组的任意一个 部分组也是线性无关的

2向量组线性关系的判定 向量组的线性关系的判定可转化为对应的齐次线性 方程组有无非零解的问题。 x41+x242+4+xn0n=0 64,d eú jú e/Gj-L2Lm e u w且 ì a1x1+412X2+L+41mXn=0 e0ù azx+a22x2+L +azn=0 LLLLLLLLL 0= eMi am+am2x2+L+amXn=O enú ě00

向量组的线性关系的判定可转化为对应的齐次线性 方程组有无非零解的问题