《数学分析》课程教学课件（讲稿）一般项级数

§3一般项级数 由于非正项级数（一般项级数）的收敛性问题 要比正项级数复杂得多，所以本节只对某些特 殊类型级数的收敛性问题进行讨论. 一、交错级数 二、绝对收敛级数及其性质 三、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法 前页 返回

前页 后页 返回 §3 一般项级数 三、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法 返回 由于非正项级数(一般项级数)的收敛性问题 要比正项级数复杂得多, 所以本节只对某些特 殊类型级数的收敛性问题进行讨论. 一、交错级数 二、绝对收敛级数及其性质

一、交错级数 若级数的各项符号正负相间，即 41-42+3-44+.+（-1)+14n+. (I) (um>0,n=1,2,.), 则称为交错级数 定理12.11（莱布尼茨判别法）若交错级数(1)满足： ()数列{u}单调递减； (ii)limu =0, 则级数(1)收敛 前顶 后页 返回

前页 后页 返回 一、交错级数 1 1 2 3 4 ( 1) (1) n u u u u un         ( 0, 1,2, ), u n n   若级数的各项符号正负相间, 即 则称为交错级数. 定理12.11 (莱布尼茨判别法) 若交错级数(1)满足: (i) { } ; 数列 单调递减 un  (ii) lim 0, n  n u 则级数(1)收敛

证考察交错级数(1)的部分和数列{S,它的奇数项 和偶数项分别为 S2m1=41-(42-43)-(42m-2-42m-1 S2m=(41-山2)+(（43-4)+.+(42m-1-42m) 由条件①)，上述两式中各个括号内的数都是非负的， 从而数列{S2m}是递减的，而数列{S2m}是递增的. 又由条件()知道 0<S2m-1-S2m=42m-→0(m-→∞) 从而{[S2mS2m}是一个区间套.由区间套定理，存 前页 返回

前页 后页 返回 证 考察交错级数(1)的部分和数列{Sn },它的奇数项 和偶数项分别为 2 1 1 2 3 2 2 2 1          ( ) ( ), S u u u u u m m m 2 1 2 3 4 2 1 2         ( ) ( ) ( ). S u u u u u u m m m 由条件(i), 上述两式中各个括号内的数都是非负的, 2 1 2 { } { } . 从而数列 是递减的,而数列 是递增的 S S m m  又由条件 知道 (ii) 从而{ [S2m, S2m-1 ] }是一个区间套.由区间套定理,存 2 1 2 2 0 0 ( ),       S S u m m m m 

在惟一的实数S,使得 lim S2m-=lim S2m=S. m->oo 所以数列{S}收敛，即级数()收敛 推论若级数(1)满足莱布尼茨判别法的条件，则收敛 级数(1)的余项估计式为 Rn≤4n1 前页 后页 返回

前页 后页 返回    lim lim . 2 1 2 m m   m m S S S { } , (1) . 所以数列 Sn 收敛 即级数 收敛 推论 若级数(1)满足莱布尼茨判别法的条件, 则收敛 级数(1)的余项估计式为  1 . R u n n 在惟一的实数 S, 使得

例1判别级数(-)”历 的收敛性 n=2 n-1 -(1+x) 4n+1, x-1 n 又limu=lim, =0. 原级数收敛 n->oo ncon-1 前页 后页 返回

前页 后页 返回 例 1 判别级数 2 ( 1) 1 n n n n      的收敛性. 解: 2 (1 ) 1 2 ( 1) x x x x x               0 ( 2) x , 1 x x  故函数 单调递减 1 , n n u u    lim lim 1 n n n n u   n   又  0. 原级数收敛

Ex:验证下列级数为莱布尼茨型级数，从而皆收敛 豆(-是22-w'an2-r0 (2) 1-1+11 11 35!7! ++ (2n-1): +.;(3) 00+(0+,④ 1234 前页 后页 返回

前页 后页 返回          1 1 1 1 1 1 ( 1) ; (3) 3! 5! 7! (2 1)! n n 1 2 3 4 1 2 3 4 ( 1) . (4) 10 10 10 10 10 n n  n        1 1 1 1 1 ( 1) ; (2) 2 3 1 n n         Ex :验证下列级数为莱布尼茨型级数, 1 1 1 1). ( 1) ; n n n      1 1 1 2). ( 1) ; (2 1)! n n n       1 1 3). ( 1) . 10 n n n n      从而皆收敛

注：莱布尼茨审敛法中，”u,↓"的条件不能去掉如 1 11 2-2+++n-n++. (*) 其通项u,→0，但不满足条件”，↓”， 于是，部分和子列： 11 1 22+品++22++ 22 ∴{s2n}无上界，limS2n不存在，故级数(*)发散 前页 后页 返回

前页 后页 返回 . n 注:莱布尼茨审敛法中," " u  的条件不能去掉 如 1 1 1 1 . ( ) 2 1 2 1 1 1 n n           0, n n 其通项u u   但不满足条件" ", 于是,部分和子列: 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 n s n n          2 2 2 2 1 3 1 1 n        1 1 2 1 2 1 n             2  , n  s 无上界 2 lim , ( ) . n n s   不存在 故级数  发散

二、绝对收敛级数及其性质 若级数 山1+儿2+.+山n+. (5) 各项绝对值组成的级数 4+42+.+4n+ (6) 收敛，则称原级数（⑤）为绝对收敛级数， 定理12.12绝对收敛的级数是收敛的. 证由于级数(6)收敛，根据级数的柯西收敛准则，对 于任意正数s,总存在正数N,使得对n>N和任意正 前页

前页 后页 返回 1 2 (5) u u u     n 1 2     (6) u u un 收敛, 则称原级数(5)为绝对收敛级数. 各项绝对值组成的级数 定理12.12 绝对收敛的级数是收敛的. 证 由于级数(6)收敛,根据级数的柯西收敛准则,对 二、绝对收敛级数及其性质 若级数 于任意正数 ,总存在正数 使得对 和任意正  N n N , 

整数)，有 luml+m2+.+4mrl<G 由于 lLm+1+unm+2+.+mtr ≤uni+unm2+.+4m+r <8 因此由柯西准则知级数（⑤）也收敛 对于级数（⑤）是否绝对收敛，可引用正项级数的各种 判别法对级数(6)进行考察， 前页 返回

前页 后页 返回 由于 u u u m m m r    1 2    因此由柯西准则知级数(5)也收敛.     u u u m m m r    1 2   对于级数(5)是否绝对收敛,可引用正项级数的各种 判别法对级数(6)进行考察. 整数 r, 有 u u u m m m r    1 2     

(法2)记P.=4小+4，b9.=.-4) ∴.4，=pn-gn,0≤pn≤l,0≤gn≤ 2a<m→2p.<29.<n →上u=0-<w 推论：当∑l4<o时， 4，的和数。=它的所有正电成的级数的和数， h- 减去它的所有负项的绝对值组成的级数的和数， 前页 后页 返恒

前页 后页 返回 1 ( ) n n n p q      ( 2) 法 1 ( ), 2 n n n 记 p u u   1 ( ) 2 n n n q u u   , n n n    u p q 0 , n n   p u 0 . n n   q u 1 n n u      1 1 n n n n p q           且 1 n n u       1 : n n u   推论 当  时, 1 n n u s    的和数  它的所有正项组成的级数的和数, 减去它的所有负项的绝对值组成的级数的和数