《数学分析》课程教学课件（讲稿）几类特殊函数的不定积分

工王二二二二二二二二王王二 §3几类特殊函数的 不定积分 一、有理函数的积分 二、三角函数有理式的积分 三、简单无理函数的积分 上页

§3 几类特殊函数的 不定积分 一、有理函数的积分 二、三角函数有理式的积分 三、简单无理函数的积分

一、有理函数的积分 有理函数的定义： 两个多项式的商表示的函数称之 P(x)_ax"+ax”+.+0n-1x+0n 2(x) Boxmmm 其中m、n都是非负整数；ao,41,.,an及 b,b1,.,bm都是实数，并且≠0，b≠0. 上页 返回

有理函数的定义： 两个多项式的商表示的函数称之. m m m m n n n n b x b x b x b a x a x a x a Q x P x              1 1 0 1 1 1 0 1 ( ) ( )   其中m、n都是非负整数；a a an , , , 0 1  及 b b bm , , , 0 1  都是实数，并且a0  0 ，b0  0. 一、有理函数的积分

假定分子与分母之间没有公因式 (1) n<m,这有理函数是真分式： (2) n≥m,这有理函数是假分式； 利用多项式除法，假分式可以化成一个 多项式和一个真分式之和. 例 x3+x+1-41 x2+1 =x+x+ 难点将有理函数化为部分分式之和

假定分子与分母之间没有公因式 (1) n  m, 这有理函数是真分式； (2) n  m, 这有理函数是假分式； 利用多项式除法, 假分式可以化成一个 多项式和一个真分式之和. 例 1 1 2 3    x x x . 1 1 2    x x 难点 将有理函数化为部分分式之和

有理函数化为部分分式之和的一般规律： (1)分母中若有因式(x-),则分解后为 A 其中A1,A2,A都是常数 特殊场：太=山分解后为x。 上页 回

（1）分母中若有因式 ，则分解后为 k (x  a) , ( ) ( ) 1 1 2 x a A x a A x a A k k k         有理函数化为部分分式之和的一般规律： 其中A A Ak , , , 1 2  都是常数. 特殊地： k  1, 分解后为 ; x a A 

(2)分母中若有因式(x2+px+q),其中 p2-4q<0则分解后为 Mix+N M2x+N2 +x+(x2+p匹++2+2 其中M,N都是常数(i=1,2,.,k). Mx+N 特殊地：k=1,分解后为x2+Px+g

（2）分母中若有因式 ，其中 k (x px q) 2   4 0 则分解后为 2 p  q  x px q M x N x px q M x N x px q M x N k k k k             2 1 2 2 2 2 1 1 ( ) ( )  其中Mi Ni , 都是常数(i  1,2,  ,k). 特殊地： k  1, 分解后为 ; 2 x px q Mx N   

真分式化为部分分式之和的待定系数法 x+3 x+3 A B 例1c-5x+6(x-20x-3)x-2x-3 x+3=A(x-3)+B(x-2), .x+3=(A+B)x-(3A+2B), A+B=1, 「A=-5 → 1-3A+2B)=3,→B=61 x+3 -5 6 x2-5x+6x-2+x-3 回

真分式化为部分分式之和的待定系数法 5 6 3 2    x x x ( 2)( 3) 3     x x x , 2  3    x B x A  x  3  A(x  3)  B(x  2),  x  3  (A B)x  (3A 2B),          (3 2 ) 3, 1, A B A B , 6 5        B A 5 6 3 2     x x x . 3 6 2 5      x x 例1

例2 1=A(x-1)2+Bx+Cx(x-1) (1) 代入特殊值来确定系数A,B,C 取x=0,→A=1 取x=1,→B=1 取x=2,并将A,B值代入(1)→C=-1 1=1+1 21 xx-1)2x(x-1x-1

2 ( 1) 1 x x , ( 1) 1 2      x C x B x A 1 ( 1) ( 1) (1) 2  A x   Bx Cx x  代入特殊值来确定系数 A,B,C 取 x  0,  A  1 取 x  1,  B  1 取 x  2, 并将 A,B 值代入 (1)  C  1 . 1 1 ( 1) 1 1 2      x x x 2 ( 1) 1   x x 例2

1 A Bx+C 例3 1+2x)1+x2)1+2x1+x2’ 1=A1+x2)+(B+C)(1+2x), 整理得1=(A+2B)x2+(B+2C)x+C+A, A+2B=0, 4 B+2C=0,→A=4,B=- 5 A+C=1, 4 2 1 1 5 .5 5 (1+2x)1+x2)1+2x 1+x 上页 返回

例3 . 1 5 1 5 2 1 2 5 4 2 x x x       (1 2 )(1 ) 1 2  x  x 1 (1 ) ( )(1 2 ), 2  A  x  Bx  C  x 1 ( 2 ) ( 2 ) , 2  A B x  B  C x  C  A            1, 2 0, 2 0, A C B C A B , 5 1 , 5 2 , 5 4  A  B   C  , 1 2 1 2 x Bx C x A      (1 2 )(1 ) 1 2  x  x  整理得

*秋分 解」 =+刂'-小4 -

例4 求积分 . ( 1) 1 2 dx x x   dx x x   2 ( 1) 1 dx x x x             1 1 ( 1) 1 1 2 dx x dx x dx x         1 1 ( 1) 1 1 2 ln( 1) . 1 1 ln x C x x       解

5求积分a+2+ 4 解 a+2x+x-,+ 5d 1+2g+14 = n(1+2x)-sIn()+arctan x+C

例5 求积分 解 . (1 2 )(1 ) 1  2   dx x x dx x x dx x         2 1 5 1 5 2 1 2 5 4    dx (1 2x)(1 x ) 1 2 dx x dx x x x         2 2 1 1 5 1 1 2 5 1 ln(1 2 ) 5 2 arctan . 5 1 ln(1 ) 5 1 ln(1 2 ) 5 2 2   x   x  x  C