《数学分析》课程教学课件（讲稿）定积分的性质、中值定理

第二节定积分的性质 中值定理 一、基本内容 二、小结思考题 返回

一、基本内容 对定积分的补充规定： (1)当a=b时，∫f(x)dk=0 (2) 当a>b时，∫心fx)=-fx)c. 说明； 在下面的性质中，假定定积分都存 在，且不考虑积分上下限的大小. 上页 返回

对定积分的补充规定: （1）当a  b时， ( )  0  b a f x dx ； （2）当a  b时，   a b b a f ( x)dx f ( x)dx. 说明 在下面的性质中，假定定积分都存 在，且不考虑积分上下限的大小． 一、基本内容

性质1fx)±g(x)ld=f)k±0g(x) 证 fw)±gxd =im∑Lf(5)±g(5:)lAx 2→0 =m2J八5，)Ax±2g△ 0 i=1 =f(x)dk±g(x). (此性质可以推广到有限多个函数作和的情况)

证   b a [ f (x) g(x)]dx i i i n i   f  g x   lim [ ( ) ( )] 1 0    i i n i   f x   lim ( ) 1 0   i i n i  g x   lim ( ) 1 0     b a f (x)dx ( ) .   b a g x dx   b a [ f (x) g(x)]dx  b a f (x)dx  b a g(x)dx . （此性质可以推广到有限多个函数作和的情况） 性质1

性质2 f()k=Kf(x)kk为常数. 证 wd=m2时5Ax =g空f5,A=k=2GA, -k["f(x)dx. 回

   b a b a kf ( x)dx k f ( x)dx (k 为常数). 证  b a kf (x)dx i i n i  kf x   lim ( ) 1 0   i i n i  k f x   lim ( ) 1 0   i i n i  k  f x   lim ( ) 1 0   ( ) .   b a k f x dx 性质2

性质3 假设a<c<b f(x)=j后fx)+心f(x) 补充：不论a,b,c的相对位置如何，上式总成立 例若a<b<c, ()d(d+f(de 则fx)=Efx)c-∫fx)c =0fx)+f)& (定积分对于积分区间具有可加性) 上页

 b a f ( x)dx     b c c a f ( x)dx f ( x)dx. 补充：不论 a,b,c 的相对位置如何, 上式总成立. 例 若 a  b  c,  c a f (x)dx     c b b a f (x)dx f (x)dx  b a f (x)dx     c b c a f (x)dx f (x)dx ( ) ( ) .     b c c a f x dx f x dx （定积分对于积分区间具有可加性） 则 性质3 假设a  c  b

性质4心1.k=心c=b-a. 性质5如果在区间a,b]上f(x)20, 则∫f(x≥0.(a<b) 证 .f(x)≥0，.f(5)≥0，(i=1,2,n) △x,≥0，·∑f传：)△x,≥0， i=1 2=max{△c1,△x2,△xn} m2fGA,=foe)k≥0. 回

dx b a   1 dx b a   b  a . 则 ( )  0  f x dx b a . (a  b) 证  f (x)  0,  ( )  0, i f (i  1,2,  ,n)   0,  xi ( ) 0, 1       i i n i f x max{ , , , }   x1 x2  xn i i n i   f x   lim ( ) 1 0   ( ) 0.    b a f x dx 性质4 性质5 如果在区间[a,b]上 f (x)  0

例1比较积分值ec利。x的大小 解 令f(x)=e'-x,x∈[-2,0] fx)>0,.∫，(e*-x)k>0, edk>以， 于是e*k<x, 上页

例 1 比较积分值 e dx x  2 0 和 xdx  2 0 的大小. 解 令 f (x) e x, x   x[2, 0]  f (x)  0, ( ) 0, 0 2     e x dx x e dx x   0 2 , 0 2 xdx   于是 e dx x  2 0 . 2 0 xdx   

性质5的推论： (1)如果在区间a,b]上f(x)≤g(x), 则fx≤g(x.(a<b) 证 :f(x)≤g(x),.g(x)-f(x)≥0， ·.∫g(x)-f(x)k≥0， g(x)-∫心fx)d≥0， 于是fxk≤g(x. 上贡 回

性质5的推论： 证  f (x)  g(x),  g(x)  f (x)  0,  [ ( )  ( )]  0,  g x f x dx b a ( )  ( )  0,   b a b a g x dx f x dx 于是 f x dx b a ( ) g x dx b a  ( ) . 则 f x dx b a ( ) g x dx b a  ( ) . (a  b) （1） 如果在区间[a,b]上 f ( x)  g( x)

性质5的推论： (2)心fx≤fxk.a<b 证 -f(x)≤f(x)≤fx9 -fx)≤fxw)≤fx) 即f(x≤fx), 说明：1f(x)川在区间4，b]上的可积性是显然的

f x dx b a ( ) f x dx b a  ( ) . (a  b) 证   f (x)  f (x)  f (x), f (x)dx f (x)dx f (x)dx, b a b a b a       即 f x dx b a ( ) f x dx b a  ( ) . 说明： | f (x)|在区间[a,b]上的 可积性是显然的. 性质5的推论： （2）

性质6 设M及m分别是函数 f(x)在区间a,b]上的最大值及最小值， 则m(b-o)≤f(x)c≤M(b-o). 证 .'m≤f(x)≤M, .≤fx)≤Ma, m(b-m)≤fx)c≤M(b-a) (此性质可用于估计积分值的大致范围)

设M及m分别是函数 证  m  f (x)  M, ( ) ,       b a b a b a mdx f x dx Mdx m(b a) f (x)dx M(b a). b a      （此性质可用于估计积分值的大致范围） 则 m(b a) f (x)dx M(b a) b a      . f (x)在区间[a,b]上的最大值及最小值， 性质6